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312两条直线的平行与垂直的判定(教学设计)
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3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定(教学设计)
教学目标
1.知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
2.过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用代数方法来研究几何问题.
3.情感、态度和价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣,欣赏解析几何的代数抽象美.
教学重点、难点
重点: 熟练掌握两条直线平行和垂直的条件
难点: 研究两条直线的平行或垂直问题的判断.
教学过程
(一)创设情景,导入课题
复习已经学习的直线的倾斜角和斜率的概念, 可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.
(二)师生互动,新课讲解
1. 先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.
2. 两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行
设直线 l1和l2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.
所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果l1∥l2(图1-29),那么它们的倾斜角相等:α1=α2.因为tgα1=tgα2 即 k1=k2.
反过来,如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2,那么tgα1=tgα2.
由于0°≤α1<180°, 0°≤α2<180°,所以α1=α2.
又因为两条直线不重合,两条直线平行l1∥l2.
结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即l1∥l2?k1=k2.
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有l1∥l2; 反之则不一定.
3. 两条直线的斜率都存在时, 两直线的垂直
下面我们研究两条直线垂直的情形.
结论: 两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即
注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有; 反之则不一定.
例1(课本P87例3)已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
解: 直线BA的斜率k1=,
直线PQ的斜率k2=,
因为 k1=k2=, 所以 直线BA∥PQ.
例2(课本P87例4) 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
解同上.
例3(课本P88例5)已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
解: 直线AB的斜率,
直线PQ的斜率,
因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.
例4(课本P89例6)已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
分析: 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.
课堂练习:(课本P89练习 NO:1;2)
例5:(tb7909304)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),求顶点D的坐标。
(答:D(3,4))
(三)课堂小结,巩固反思
1.知识小结
(1) 两条直线平行或垂直的判定方法
(2) 注意特殊情况特殊处理,如有斜率为零或斜率不存在的情况.
(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.
2. 思想方法:倾斜角、平行是几何概念, 坐标、斜率是代数概念,解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题.
(四)课时必记:
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即l1∥l2?k1=k2.
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么
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