314发2012年考研数学高数中的重要定理与公式及其证明（一）.doc

高数中的重要定理与公式及其证明（一） 文章来源：跨考教育 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。 1）常用的极限 ，，，， 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限与的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。 证明： ：由极限两边同时取对数即得。 ：在等式中，令，则。由于极限过程是，此时也有，因此有。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的换成，再取倒数即得。 ：利用对数恒等式得，再利用第二个极限可得。因此有。 ：利用对数恒等式得 上式中同时用到了第一个和第二个极限。 ：利用倍角公式得。 2）导数与微分的四则运算法则 【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。 3）链式法则 设，如果在处可导，且在对应的处可导，则复合函数在处可导可导，且有： 【点评】：同上。 4）反函数求导法则 设函数在点的某领域内连续，在点处可导且，并令其反函数为，且所对应的的值为，则有： 【点评】：同上。 5）常见函数的导数 ， ，， ，， ， 【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱??，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。 证明： ：导数的定义是，代入该公式得 。最后一步用到了极限。注意，这里的推导过程仅适用于的情形。的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。 ：利用导数定义，由和差化积公式得。的证明类似。 ：利用导数定义。的证明类似（利用换底公式）。 ：利用导数定义。的证明类似（利用对数恒等式）。