323立体几何中的向量方法利用空间向量求空间角.doc

金太阳新课标资源网  HYPERLINK  第  PAGE 9 页 共  NUMPAGES 9 页 金太阳新课标资源网 HYPERLINK  §3.2.3立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求空间角 教学目标 1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解二面角的向量方法 教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程 一、复习引入 1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2、向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义： （2）两向量夹角公式： （3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析 知识点1、异面直线所成的角（范围： ） （1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a′与b′，那么直线a′与b′ 所成的不大于90°的角 ，叫做异面直线a与b 所成的角。 a′ b′ ? o a b （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a、b的方向向量分别为 和 ， 问题1 当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成的角 与 和 的夹角的关系？ 相等 问题 2 当与的夹角大于90°时，异面直线a、b 所成的角 与和 的夹角的关系？ 互补 所以，异面直线a、b所成的角的余弦值为 ? ? n m , cos cos ? 典型例题1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。 解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设OA=1,则A(1,0,0) B(0,1,0) F1( ,0,1) D1( , ,1) 所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为 知识点2、直线与平面所成的角（范围： ） B A O n  SHAPE \* MERGEFORMAT  B A O n 据图分析出直线与平面所成的角的正弦值为 = 典型例题2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点， A1 z C1 A D (1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值; D1 (2)求二面角F-AE-D的余弦值。 B1 y B C x 解： (1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0) B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1) 设平面AB1C的法向量为n =(x1,y1,z1), 所以 X1+z1=0 X1+y1=0 取x1=1,得y1=z1=-1 故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为 n1 n2 3、二面角（范围： ） n1 n2 典型例题2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的余弦值。 解：(2)由题意知 设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2), 故m=(-2, 1,-2) 取y2=1,得x2=z2=-2 所以 又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1) 观察图形知，二面角F-AE-D为锐角，所???所求二面角F-AE-D的余弦值为 典型例题3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为c , AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 解：如图 根据向量的加法法则, 于是，得 设向量 与 的夹角为，就是库与水坝所成的二面角. 因此 所以 库底与水坝所成二面角的余弦值是 O A B C S 三、巩固练习 如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求 ⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；