32利用导数判断函数的单调性(理).doc

第  PAGE 10 页 共  NUMPAGES 10 页 3.2利用导数判断函数的单调性 知识要点梳理 1. 函数的导数与函数的单调性的关系： （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 （2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 那么在这个区间内0。 2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数的定义域； ②计算导数，令，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把的定义域分成若干个小区间； ④确定在各个开区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小区间的增减性（若0,则f(x)在相应区间内为增函数；若0,则f(x)在相应区间内为减函数。） 疑难点、易错点剖析： 1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f’(x)0（或f’(x)0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是，x恒成立，且f’(x)在（a,b） 的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f’(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f’(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f’(x)不恒为0，则由，x恒成立解出的参数的取值范围确定。 2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)＞0，解不等式得x的范围就是递增区间；③令f′(x)＜0，解不等式得x的范围，就是递减区间。 3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨??。 直击考点 考点一 求不含参数的函数的单调区间 考例1.求函数y=x2(1－x)3的单调区间. 思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。 解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1) =x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x) 令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜. ∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，) 令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1. ∵为拐点， ∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞) 其函数的大致图像如下图： 锦囊妙计：本题中，有一个特殊之处，当x=1时,f’(1)=0,但在x=1邻近的左右两侧的导数值同号（均为负），因此该函数的一个单调递减区间是，而1。 举一反三： 1.函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2.(05年广东高考题)函数是减函数的区间为( ) （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 答案：D 解析： 考点二 求含参数的函数的单调区间 考例2 ．（06山东卷）设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a--1，求f(x)的单调区间。 解：由已知得函数的定义域为，且 （1）当时，函数在上单调递减， （2）当时，由解得 、随的变化情况如下表 —0+极小值从上表可知 当时，函数在上单调递减. 当时，函数在上单调递增. 综上所述： 当时，函数在上单调递减. 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增. 锦囊妙计:求含字母参数的函数的单调区间时要注意对字母参数进行分类讨论. 举一反三： （06山东卷）设函数f(x)= (Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ) 讨论f(x)的极值.解：由已知得 ， 令，解得 . （Ⅰ）当时，，在上单调递增 当时，，随的变化情况如下表： 0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当时，函数没有极值. 当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值. 考点三 利用导数证明不等式 考例3. 当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x. 思路分析：假设构造函数f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0, 如果能够证明f(x)在