34空间向量在度量问题中的应用1.doc

3.4 空间向量在度量问题中的应用1 一、教学目标设计 1、理解空间两条直线所成角的概念； 2、掌握应用两条直线的方向向量数量积解决空间两条直线所成角. 二、教学重点及难点 1、理解空间两条直线所成角的概念是教学重点； 2、掌握空间两条直线所成角的运算是教学难点. 三、教学用具准备 运用多媒体展示相关例题及图形 四、教学过程设计 （一）问题引入 复习：空间向量坐标表示、空间向量数量积、空间直线的方向向量、异面直线所成角概念和范围、空间向量夹角概念和范围、平面直线的夹角与平面向量夹角关系等基础知识. 思考：如何求空间两条直线的夹角？ （二）学习新课 1、两条空间直线的夹角的求法 （1）如何利用空间直线的方向向量求两个向量的夹角？ （2）能否用空间直线的方向向量的夹角表示所在两条空间直线的夹角？为什么？ （3）空间直线的方向向量的夹角和所在两条空间直线的夹角有何等量关系？ 2、尝试解决 基本要求： 例1已知向量，求直线AD与OC及AD与BE所成角的大小. 解：直线AD与OC及AD与BE所成角的大小都为（略）. （三）巩固新知 例2（教材P53 例题1）已知正方体中，E、F分别是AD、AB的中点. （1）求异面直线与所成角的大小；（2）求证：异面直线与垂直. 分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。 问题1：此题在立体几何中我们应该如何解决？ （异面直线平移相交，求相交直线的交角） 问题2：利用空间向量求解，对几何体如何处理？ （求向量与的数量积，当然应先建立空间直角坐标系） 问题3：如何建立空间直角坐标系？并说明理由。 问题4：建立空间直角坐标系后，各相关点的坐标是多少？ （请学生个别回答） 归纳利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤： （1）根据图形建立合理的空间直角坐标系； （2）确定关键点的坐标； （3）求空间向量的夹角； （4）得出异面直线的所成角。 例中的长方体的底面正方形变成菱形，则变式成下列问题： 较高要求 例3．直棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面是边长 为4的菱形,且∠DAB=60°，AA1=6，AC与BC 交于E，A1C1与B1D1交于E1， （1）求：DA1与AC1的所成角； （2）若F是AE1的中点， 求：B1E与FD1的所成角； 师生对变式题稍作分析后，让学生自已练习，教师巡视学生的求解情况。选择直角坐标系建立方法不同的解法，利用实物投影仪展示给学生们看。 [说明]对于学生建立的不同坐标系求出的同一直线的不同方向向量进行点评. （四）课堂练习： 1、已知，求异面直线与CD所成角的大小 2、教材P54 3、已知是边长为的正三角形所在平面外一点，且，分别是，的中点，求异面直线与所成角 解：设，，，∴， ∵ ∴ 所以，异面直线与所成角的为. [说明]要求异面直线与所成角，只要求与所成的角，因此就要求以及，在这里可以建立空间直角坐标系，也可以不建立直接用向量夹角公式求解 （五）课堂小结 通过本节课的学习我们掌握了利用空间向量求两条异面直线所成角的的一般步骤： 1、根据图形建立合理的空间直角坐标系； 2、确定关键点的坐标。 3、求空间向量的夹角θ(00≤θ≤1800) ； 4、得出异面直线的所成角α(00＜α≤900) 。 注意向量交角与异面直线所成角的区别。 （六）布置作业：基本要求：见练习册 较高要求： 1、如图正方体中，，求与所成角的余弦． 解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系， 则，，， ， ∴，， ∴，． ． 2．在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，，是的中点， （1）求证：；（2）求与所成的角的余弦；（3）求的长． 解：如图以为原点建立直角坐标系， 则，，，， ，，， （1），， ∴，∴． （2）∵， ∴， ，， ∴，∴与所成的角的余弦． （3）∵，∴． 3．已知三角形的顶点是，，，试求这个三角形的面积． 分析：可用公式来求面积． 解：∵，， ∴，， ， ∴， ∴， 所以，．