34数列求和与递推数列.doc

§3.4　数列求和与递推数列 知识诠释　　思维发散 一、递推公式 1.已知数列{an}的前n项和Sn,则an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2. 2.已知数列{an}前n项之积Tn,一般可求Tn-1,则an=TnTn-1. 3.已知an-an-1=f(n)(n≥2),且{f(n)}成等差(比)数列,则求an可用累加法. 4.已知anan-1=f(n)(n≥2),求an用累乘法. 5.已知数列{an}的递推关系,研究an与an-1的关系式的特点,可以通过变形构造,得出新数列{f(an)}为等差或等比数列. 6.已知an与Sn的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2),转化为只含an或Sn的递推关系,再利用上述方法求出an. 二、数列求和 1.基本公式法 (1)等差数列求和公式:　　　　　　　　.? (2)等比数列求和公式: Sn=na1(q=1),a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q(q≠1). (3)Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=　　.? 2.错位相减法 对于求一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常用错位相减法,如:an=bn·cn,其中{bn}是等差数列,{cn}是等比数列, 记Sn=b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1+bncn,则qSn=b1c2+…+bn-1cn+bncn+1,两式相减整理即得. 3.分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利用公式法求和. 4.拆项(裂项)求和 把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有: (1)若{an}是公差为d的等差数列,则1anan+1=　　　　　.? (2)1(2n-1)(2n+1)=　　　　　　　　　　.? (3)1n(n+1)(n+2)=　　　　　　　　　　.? (4)1a+b=　　　　　　　　　　.? (5)1n+k+n=　　　　　　　　　　.? (6)Cnm-1=　　　　　　　　　　.? (7)n·n!=(n+1)!-n!. (8)an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2. 5.倒序相加法 根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的. 6.并项求和 把数列的某些项放在一起先求和,然后再求Sn. 7.其他求和法 如:归纳猜想法,奇偶法等.数列求和的方法多种多样,要视具体情形选用合适的方法. 1.数列{an}的通项an=1n(n+1),则数列的前10项和等于 (　　) (A)56.　　　(B)89.　　　(C)1011.　　　(D)1112. 2.已知数列{an}中,a1=1,an+1an=an-(-1)n(n∈N*),则a3a5的值为 (　　) (A)1516. (B)158. (C)38. (D)34. 3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和等于 (　　) (A)2n+n2-1. (B)2n+n2-2. (C)2n+1+n2-1. (D)2n+1+n2-2. 核心突围　　技能聚合 题型1　裂项求和与拆项分组求和 例1　(1)数列11+2,12+3,…,1n+n+1,…的前n项和Sn等于 (　　) (A)n+1-n.　　　　(B)n+1+n. (C)n+1-1. (D)n+1+1. (2)已知数列1+1,1a+4,1a2+7,…,1an-1+3n-2,…的前n项和Sn,当a≠1时,Sn=　　　　　.? 变式训练1　(1)数列5,55,555,…的前n项和等于 (　　) (A)59(10n-1). (B)59(10n-1)+n. (C)50(10n-1)-45n81. (D)50(10n-1)-81n81. (2)数列{an}的通项公式an=1n+n+2(n∈N*),若前n项和为Sn,则Sn=　　　　.? 题型2　错位相减法与倒序相加法求和 例2　已知数列{an}是等差数列,a2=6,a5=18;数列{bn}的前n项和是Tn,且Tn+12bn=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列; (3)记cn=an·bn,求{cn}的前n项和Sn. 变式训练2　求和:Sn=(x+1x)2+(x2+1x2)2+…+(xn+1xn)2. 例3　已知lg x+lg y=1,且Sn=lg xn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lg(xyn-1)+lg yn,求Sn. 　　变式训练3　数列{an}满足a1=1,an+1=2n+1anan+2n(n∈N*). (1)证明:数列2nan是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式an; (3)设bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前n项和Sn. 题型3　利用累加法、累乘法求通项 例4　(1)已知数列{an}满足a1=22,a