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线性代数教案及讲稿
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重庆科技学院教案
课程名称:线性代数与概率统计 授课人:李国敏
授课日期班级机电专2009/材控专2010授课顺序第 大节课 题二阶与三阶行列式,全排列及其逆序数,n阶行列式的定义教学目的及要求1、应用对角线法则计算2阶和3阶行列式;
2、了解排列及其逆序数的概念;
3、了解n阶行列式的定义。教学内容要点2阶和3阶行列式的计算方法;排列及其逆序数;行列式的定义。重难点分析重点难点:行列式定义的两种表示形式。教学思路或教法设计首先通过二元线性方程组引入二阶行列式,进而介绍3阶行列式及对角线法求解。了解排列及其逆序数的概念之后,接着引入n阶行列式的概念,并给出n阶行列式的表示形式。最后对对角行列式和上(下)三角形行列式利用定义进行求解。课后分析及改进对于大二学生,2阶和3阶行列式已经在高等数学中接触过,为了引入n阶行列式只要简单介绍便可。主要讲解n阶行列式的定义,以及用n阶行列式的定义对对角行列式和上(下)三角形行列式进行求解。第一章 行列式
§1.1 2阶行列式和3阶行列式
1)引入(解线性方程组)
在中学课本中我们学习了解二元一次线性方程组,例如解线性方程组:
(1)
我们利用消元法可以求得方程组的解为:
那么接下来我们将采用另外一种方法来求方程组(1)的解,首先我们记: (系数行列式)
其中
再例如解线性方程组:
解:利用消元法可解得:
那么我们同样才用另外一种方法:
记:
2 ) 提出问题:
(1)为什么解决二元一次方程能用这样的方法来解决?
(2)如果是n元一次方程能否用类似的方法来解决呢?
那么为了回答上面的两个问题我们必须学习行列式的概念和性质。
行列式的相关概念:
同样,设有含两个未知数的二元一次线性方程组:
其中是未知数的系数,是常数项。
由四个数排成二行二列(横排称行、竖排称列)的数表
当 时,求得方程组的解为
现在我们把方程组得系数提取出来,且保持原来的相对位置不变,排成2行2列的2阶行列式:
对角线法则:
我们已经知道了2阶行列式的计算:
注:(主对角线上的两个数的乘积-副对角线上的两个数的乘积)
其中数称为这个行列式的元素简称“元”;
第一个下标称为行标,表示该元位于行列式的第行。
第二个下标成为列标,表示该元位于行列式的第列。
那么对应的线性方程组的解为:
3.三阶行列式:
设有9个数排成3行3列的行列式:
数表所确定的三阶行列式。
1)沙路法:
2)对角线法则:
(主对角线上的两个数的乘积-副对角线上的两个数的乘积)
例1:
解:由对角线法则有:
例 2:
方程左端:
解:
练习:
1)
解:由对角线法则有:
§1.2 排列及其逆序数
1.排列:个依次排列的元素.
例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种.
1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243
2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143
3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142
4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132
例1 互异元素构成的不同排列有种.
解 在个元素中选取1个 种取法
在剩余个元素中选取1个 种取法
在剩余个元素中选取1个 种取法
……………… …………
在剩余2个元素中选取1个 2种取法
在剩余1个元素中选取1个 1种取法
总共种取法
2.标准排列:个不同的自然数从小到大构成的排列.
个不同的元素按照某种约定次序构成的排列.
3.逆序数:
(1) 某两个数(元素)的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数(元素)
之间有1个逆序.
(2) 排列中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作.
算法:固定, 当时,
满足的“”的个数记作(称为的逆序数),
那么.
例2 排列6372451中, .
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