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附录 线性代数学习辅导 PAGE 88 PAGE 89 第4章 n元向量空间 1. 设，其中,， . 求向量. 解 由，有 设中的向量 . 试判断能否由线性表示.若能表示，表示式是否唯一. 解 设，得非齐次线性方程组 对其增广矩阵施行初等行变换，得 , 因为，所以线性方程组有无穷多解，故能由线性表示，但表示式不唯一. 3. 设向量组线性相关，向量组线性无关. (1) 能否由线性表示？证明你的结论； (2) 能否由线性表示？证明你的结论. 解 (1) 可由线性表示. 向量组线性无关，其部分组也线性无关. 又线性相关，从而可由线性表示. (2) 不能由线性表示. 假设可由线性表示，而由(1)知可由线性表示，则可由线性表示. 与线性无关矛盾，从而假设错误，得证结论成立. 4. 判断下列向量组的线性相关性，并说明理由. (1) ，，； (2) ，，. 解 (1) . ，因此的列向量组线性无关. (2) . ，因此的列向量组线性相关. 5. 若中的向量组线性无关，证明 也线性无关. 证 设有数，使得，即 ， 整理得 . 由于线性无关，所以，从而也线性无关.□ 6. 求下列向量组的秩以及它的一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大无关组线性表示. (1) ，，，； (2) ，，， . 解 (1) ， 考察的主元可知向量组的秩为3，是其一个极大无关组，且. (2) ， 考察的主元可知的秩为4，是其一个极大无关组,且. 7. 设是线性子空间的一个生成元组.试证：如果线性无关，则不能生成. 证 . 由线性无关，知不能由线性表示. 因而不能生成. □ 8. 设向量可以由向量组线性表示，但向量不能由线性表示. 试证向量组与有相同的秩. 证 由题设知有数，使得，其中，否则与向量不能由线性表示矛盾. 因此，即可由向量组线性表示，故向量组与等价，从而有相同的秩. □ 9. 设，证明的子集是一个子空间. 证 方法1 显然，所以子集是非空的. 对任意的，，，有 ，即加法封闭； ，即数量乘法封闭. 从而得证是的子空间. 方法2 是由中的向量组生成的子空间. □ 10. 求下列的子空间的一个基及维数. (1) ，其中，，； (2) ，其中，，. 解 (1) ， 考察的主元可知是的一个基，. (2) ， 考察的主元可知是的一个基，. 注 生成向量组的极大无关组是所张成子空间的基的典型取法. 11. 求下列齐次线性方程组的基础解系，并对(3)和(4)写出通解. (1) (2)； (3) (4) 解 (1) 对方程组的系数矩阵施以初等行变换，得 . 由于，所以方程组有无穷多解，同解方程组为 其中为自由变量， 则方程组的通解为 ， 且是方程组的一个基础解系. (2) 同解方程组为，其中为自由变量. 方程组的通解为 ， 且 为一个基础解系. (3) 先将齐次线性方程组的系数矩阵化为行阶梯型矩阵， ， 因为，所以基础解系含有个解向量. 方程组的同解方程组为 其中为自由变量； 则方程组的通解为 ， 且，，为一个基础解系． (4) 对系数矩阵施以初等变换，得 ， ，基础解系含有个解向量，同解方程组为 其中为自由变量； 则方程组的通解为 ， 且为一个基础解系. 12. 已知3阶矩阵，试求秩为2的3阶方阵，满足. 解 3阶方阵使，说明的每一个列向量都是齐次方程组的解，对施行初等行变换 . 因为，方程组有无穷多解，同解方程组为，其中为自由变量，取的一个基础解系为，所求的矩阵为，满足且. 注意矩阵是不唯一的. 13. 设向量组为齐次线性方程组的一个基础解系. 证明向量组也是齐次线性方程组的一个基础解系. 证 由题设知的基础解系中含有三个线性无关的解向量. 根据齐次线性方程组解的运算性质知均为的解. 下面只需证明向量组线性无关. 令矩阵 因为向量组线性无关，所以，因而向量组线性无关，从而为的一个基础解系. 14. 求一个齐次线性方程组，使它的一个基础解系为所给的向量. (1) ； (2) . 解 (1) 基础解系含有3个线性无关的解向量，所以这个5元方程组的系数矩阵的秩为2，设其中的一个方程为，将基础解系代入得到一个以所求方程组的系数为未知量的齐次线性方程组， 对其系数矩阵做初等变换 . ，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为 则方程组的通解为 ， 可得所求方程组为 (2) 基础解系为2个线性无关的解向量，所以这个3元线性方程组的系数矩阵的秩为1，设其中的一个方程为，将基础解系代入得，