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PAGE  PAGE 6 代數學入門 有關集合 元素集合 集合集合 表列法、列舉法 { 1 , 2 , 3 , 4 } 描述法、構式法 子集合 真子集合：且 N：自然數集合 Z：整數集合 Q：有理數集合 R：實數集合 C：複數集合 分割Partition 例：A={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }，A1 ={ 1 , 3 , 5 }，A2 ={ 2 , 4 , 6 }， A1、A2為之A一組分割。A3 ={ 1 , 3 }，A4 ={ 2 , 5 , 6 }， A5 ={ 4 }，A3、A4、A4為之A一組分割。 分割：集合之一組子集（均非空），彼此交集為空集合，所有聯集為母集合。 符號： 同餘 module： ：a與b同餘(mod c)，a與b同除以c餘數相同 例： 定義運算符號＊ 例：定義，。3*2=3，5*5=5，7*10=10。 例：定義。1*4=1+2=3，(1*4)*2=3*2=2+2=4，1*(4*2)=1*(2+2)=1*4=1+2=3。  群 Group： 非空集合G，以及一運算 “ * “（要有封閉性） ( G , * )為一個群 “ * ” 對G有結合律。。 唯一存在單位元素e使得且。 使得（反元素）。 注意：“ * ” 不一定有交換律，即可能。 ( Z , +) is a group . ( Z , ×) is not a group . Example： [定理] 群( G , * )中，單位元素是唯一的。 Pf： [定理] 群( G , * )中，a的反元素是唯一的。 Pf： [定理] 群( G , * )中，左消去律與右消去律均成立。 注意：，a、b不一定相等 [作業一]證明左消去律及右消去律。 [定理] 群( G , * )中，，x有唯一解 ，y有唯一解  有限群 Finite Group：G的元素個數有限 註：表示G的元素個數。 例子： （一）1 （二）2 （三）3（注意：是否有第二種？） （四）4 另例： 作業：找出所有的群，5。  循環群：（參考十五） 子群Subgroup：Subset being a group . 群，若，且為一群，則為一子群。 Note: An identity element e of G is also an identity element of A . 例：，運算為乘 ”?” 均為子群。但則否。 H、K為G的子群，則亦為G的子群。 但則不一定為子群。 例：考慮 （加法求餘數(mod 4)） 的子群有 例：，， is not a group . 循環群Cyclic group： 定義：A group is cyclic. such that . Such a is called a generator(生成元) of G . Notation . is a cyclic group . is a generator of . (互質) 例：。 。  排???群 Group of Permutions f為A一個函數。。 f is a permutation (排列) on A . f is 1-1 and onto function. (一對一且映成) 例： 此種函數f共有3!=6 種。 考慮所有此函數所成的群，稱為A的排列群。 例： ，， ，， ， 是先作再作（函數合成） ，， ， 定義 的子群：  ： ， ， 可表示為 設， 設， 設，， 代數學入門： 編者：許技江  HYPERLINK mailto:reheart@.tw reheart@.tw 21/reheart