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1- PAGE 13 高一數學增能課程教材— 單元：簡單的邏輯概念 主題1 、 敘述與開放語句 敘述：能判真偽的語句，稱為敘述。通常以p、q、r、…等來表示敘述。 開放語句：不能判斷真偽的語句，稱為開放語句。 [example] （1）「孫中山是中華民國國父」、「台北在台灣的北部」以及「5＞2」這些語句都是真的，所以是敘述。 （2）「台中在台灣中部」為真，「3＜1」為偽，這些都是敘述。 （3）「x＞7」、「x2=25」、「小陳是帥哥」，這些均無法判斷真偽，所以都是開放語句。 若p是一個敘述，則非p（記為p’或~p）就稱為敘述p的否定敘述；如果敘述p為真，那麼否定敘述~p為偽；如果敘述p為偽，那麼否定敘述~p為真。 [example] （1）「東京是日本的首都」之否定敘述是「東京不是日本的首都」。 （2）「5＞2」的否定敘述是「5不大於2」或「」。 全稱與偏稱（特稱）： 1. 符號與意義： 全稱以符號表示，指 “對所有”或”對任意”的意思。 特稱以符號表示，指 “存在有”的意思。 [example] （1）「所有正三角形，三邊相等」，可記為「正三角形，三邊相等」。 （2）「存在有三角形是鈍角三角形」可記為「三角形是鈍角三角形」。 （3）「存在實數x，x＞1」以符號「x是實數，x＞1」表示。 否定敘述：全稱的否定為特稱，特稱的否定為全稱。 [example] （1）「所有的同學都及格」的否定敘述是「有同學不及格」。 （2）「有同學及格」的否定敘述是「所有同學都不及格」。 即 ~（p）= （~p），~（p）= （~p） 合取與析取： 定義： （1）兩個或兩個以上的敘述組成一個新的敘述稱為複合敘述。 （2）p、q為二敘述，則複合敘述p且q稱為p、q的合取敘述，記做pq；此敘述p和q均為真時始為真。 （3）p、q為二敘述，則複合敘述p或q稱為p、q的析取敘述，記做；此敘述p、q有任一為真則為真。 [example] p 表敘述「台北在台灣的北部」，q表敘述「東京是美國的首都」，則 （1）表敘述 「台北在台灣的北部且東京是美國的首都」，此敘述為偽。 （2）表敘述 「台北在台灣北部或東京是日本的首都」，此敘述為真。 2. 否定：合取敘述的否定是???取，析取敘述的否定是合取，即~（）=（~p）（~q），~（）=（~p）（~q）。 [example] p表敘述「3＞1」，q表敘述「5+2=7」，則 （1）~（）=（~p）（~q）= 31或5+27 （2）~（）=（~p）（~q）= 31且5+27 同義敘述 p、q為二個敘述，若p為真時q必為真，若p假時q必為假，則稱p、q二敘述同義（等值）用 表示之（即p、q為同一事的兩種不同型式敘述）。譬如：p、q為二敘述，則： （1）~（）（~p）（~q） （2）~（）（~p）（~q） ※1. 敘述與開放語句： 可以判斷真偽的語句稱為敘述；不能判斷真偽的語句稱為開放語句。 （1）~（）= （~p） （2）~（）= （~p） （3）~（）= （4）~（）= 2. 敘述的真偽： （1）：所有個體均需具有性質p始為真。 （2）：所有的討論個體只要有任一具有性質p即為真。 （3）：p為真且q為真時始為真。 （4）：只要p、q中有任一為真則為真。 ※1. 觀念：對一個敘述p，則非p為其否定敘述，以p’或~p表之。 2. 性質：（1）全稱的否定為偏稱，即~（）= 。 （2）偏稱的否定為全稱，即~。 （3）合取的否定為析取，即~（。 （4）析取的否定為合取，即~（）=~。 範 例 研 析 判斷下列何者為敘述？何者為開放語句？ （A）x-2=x+5 （B）2x-2=x+5 （C）3+6=3 （D）4+14 sol 下列何者為敘述？ (A) 3+5=8 （B）3+58 （C）x+3=x+2 （D）2x-1=5 (E) 2x-1=5 sol 在下列敘述何者為真? (A)＞＞ （B）大角對大邊且大邊對大角 （C）內角和且外角和 （D）任兩邊和大於第三邊且任兩邊差的絕對值小於第三邊 （E）內心在三角形內部且外心在三角形外部 sol x和y表1，2或3，試判斷下列敘述何者為真? （A），x+2＜12 （B），5x＞10 （C），x2 ＞1 （D） ，x2＞1 （E）， 使 x （F），使 sol 下列敘述何者為真? （A）1＞5且1+2=3 （B）2＜5且3 ×2=6 （C）3＜8且-3＞-8 （D）1+1=2且1+3 （E）5＞3且5＜3 sol 試判斷下列敘述何者為真？對等