高中数学论文集：与抛物线焦点弦有关的几个结论.doc

PAGE  PAGE 4 抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质 　　在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点． 　　不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点，准线l的方程：. 　　过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，又作AA1⊥l, BB1⊥l，垂足分别为A1、B1. 　　AB⊥x轴时，, , 此时弦AB叫抛物线的通径，它的长|AB|＝2p． 　　AB与x轴不垂直也不平行时，设弦AB所在直线的斜率为k(k≠0)，则方程为 (如图)． 　　由方程组消去y，得 　　, 或消去x, 得. 　　结论1：(定值)，, 　　结论2：y1y2＝-p2(定值)，. 　　结论3：弦长. 　　结论4：若此焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，则为定值． 　　事实上，若AB⊥x轴，则 　　m＝n＝p， . 　　若AB与x轴不垂直，则. 　　. 　　结论5：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦中通径最小． 　　证法1：设弦AB所在的直线方程为. 　　由方程组消去x，得 y2-2pmy-p2=0. 　　∴ y1+y2=2pm,　 y1y2=-p2. 　　 　　当且仅当m＝0，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p． 　　证法2：设过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为，则 　　|AF|=|AA1|=p+|AF|cos, |BF|=|BB1|=p-|BF|cos, 　　∴ . 　　, 　　当且仅当=90°时，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p． 　　结论6：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图)． 　　事实上，取弦AB的中点C，作CC1⊥l，垂足为C1. 则 　　. 　　这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 　　结论7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切． 　　事实上，. 　　设AF的中点为D，则，∴ D到y轴的距离. 　　这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切． 　　结论8：A1F⊥B1F（如图） 　　事实上，设，则 　　， 。 　　。 　　由结论2有y1y2=-p2, ∴, ?? A1F⊥B1F。 　　结论9：若M为A1B1的中点，则MF⊥AB。 　　事实上，当AB⊥x轴时，显然有MF⊥AB。 　　当AB与x轴不垂直时，。 　　由结论2，有，， ，即MF⊥AB。 　　结论10：在梯形AA1B1B中，两对角线AB1与BA1相交于点抛物线顶点O。 　　 　 　　事实上，当AB⊥x轴时，此时易得，结论显然成立。 　　当AB与x轴不垂直时，设、， 　　则， 　　， 　　∴， ∴AB1经过原点O。 　　同理A1B经过原点O。