高中数学论文集：利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题.doc

第  PAGE 3 页 共  NUMPAGES 3 页 利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题 导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如，+2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。 一、有关三次方程根的问题： 对的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根，然后转化为，再展开，应用待定系数法即可求出。再对求根得解。如；但大多数三次方程的根不易猜出，这时我们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。 例1、方程的实根的个数是 （ ） 、3 、2 、1 、0 分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，画出其草图，数形结合分析求解。 解：令= 则= = 当或时 0 为增函数 当时 为减函数 == 0 1 3 故的极大值在轴的下方，如图1，即 的图象与轴只有一个交点，原方程只有一个实根。 选。 （图1） 例2、已知函数在上是增函数，在上是减函数，若恰有一解，求实数的取值范围。 分析：此题给出函数的单调区间，求参数的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它应包含题中给出的单调区间，初步得出的范围。又据恰有一解，即函数值对应惟一值。可先由单调性画出草图，然后数形结合分析求解。 解：函数在上是增函数，在上是减函数 由得， ， 得 由题意 0 即 ① 又在和上递增， 在上递减。如图2 （图2） 在的值域为 即 据图2可知，若恰有一解，只需 得 结合① 二、有关超越方程根的问题： 这时更不易猜根求解，但构造函数求导后，画出草图，数形结合，找到图象与轴的交点，则可化难为易。很快得解。 例3、证明方程+2有惟一解。 分析：这一方程形式比较复杂，观察易知是其一根，但不能说明它惟一。我们利用导数，解题步骤基本不变，不同之处是要首先考虑函数的定义域，在定义域的范围内求解。 证明：移项得：=0 令 y 0 1 x 当即时 ，，为增函数 （图3） 当即时，，为减函数。 如图3，此时图象与轴相切。与轴只有惟一交点 故方程+2有惟一解。 例4、若关于的方程在上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。 分析：这一方程已知根的情况，反过来要探求参变量的范围。仍可先构造函数，再利用导数判断其单调性，然后画出草图数形结合，根据图象与轴的交点情况，挖掘出隐含条件即可得解。 解：方程可化为 令 则 由得，得 0 1 2 在上递增，在上递减。 （图4） 要使关于的方程在上恰好有两个相异的实根，只需的图象与轴在和上各有一个交点。如图4 所以有： 即 解之得： 通过上面的例题分析，可以看出，对于三次方程、超越方程的根的问题（或是能转化为这二类方程根的问题），我们就可以先构造函数，运用导数这一工具，在定义域内求出其单调区间，依题意作出草图，运用数形结合的数学思想，确定函数图象与轴的交点情况，挖掘隐含条件求解。导数是工具、图形是核心，找根是目标。