随记：我们需要怎样的数学教育？.pdf

LEARN RIGHT, NOT ROTE. Arnold 谈到了数学教育中的一部分,喜欢下面他讲到, 让数学尽可能更直觉直观,摘取一段. 直觉的思维越来越困难,我们要依靠越来越多的数学工具帮助理解越来越抽象的数学概念.或 许 Arnold 的想法也越来越不现实. 一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对 应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密（在纯粹的代数式的教育中，这个秘密被仔细地 隐藏了起来），那么行列式的整个理论都将成为多线性形式理论的一部分。如果用别的方 式来定义行列式，则任何敏感的人都将会永远恨死了诸如行列式，Jacobi 式，以及隐函数 定理这些鬼东西。 一个群又是什么东东呢？代数学家们会这样来教学：这是一个假设的集合，具有两种 运算，它们满足一组容易让人忘记的公理。这个定义很容易激起一个自然的抗议：任何一 个敏感的人为何会需要这一对运算？“哦，这种数学去死吧”－－这就是学生的反应（他 很可能将来就成为了科学强人）。 如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的 1－1 映射），则我们绝 对将得到不同的局面，这也才更像历史的发展。所有变换的集合被称为一个群，其中任何 两个变换的复合仍在此集合内并且每个变换的逆变换也如此。 这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然的性质 。公理化的倡导者所称的“抽象群”不过是在允许相差同构（保持运算的 1－1 映射）意义 下的不同集合的变换群。正如 Cayley 证明的，在这个世界上根本就没有“更抽象的”群。 那么为什么那些代数学家仍要用抽象的定义来折磨这些饱受痛苦的学生们呢？ 顺便提一句，在上世纪 60 年代我曾给莫斯科的中小学生们讲授群论。我回避了任何的 公理，尽可能的让内容贴近物理，在半年内我就教给了他们关于一般的五次方程不可解性 的 Abel 定理（以同样的方式，我还教给了小学生们复数，黎曼曲面，基本群以及代数函数 的 monodromy 群）。这门课程的内容后来由我的一个听众 V. Alekseev 组织出版了，名为 The Abel theorem in problems. 一个光滑流形又是什么东东呢？最近我从一本美国人的书中得知庞加莱对此概念并 不精通（尽管是由他引入的），而所谓“现代的”定义直到上世纪 20 年代才由 Veblen 给 出：一个流形是一个拓扑空间满足一长串的公理。 学生们到底犯了什么罪过必须经受这些扭曲和变形的公理的折磨来理解这个概念？ 事实上，在庞加莱的原著《位置分析》（Analysis Situs）中，有一个光滑流形的绝对 清晰的定义，它要比这种抽象的玩意儿有用的多。 一个欧式空间 R^N 中的 k-维光滑子流形是一个这样的子集，其每一点的一个邻域是 一个从 R^k 到 R^(N-k)的光滑映射的图象（其中 R^k 和 R^(N – k) 是坐标子空间 ）。这 样的定义是对平面上大多数通常的光滑曲线（如 圆环 x^2 + y^2 = 1）或三维空间中 曲线和曲面的直接的推广。 光滑流形之间的光滑映射则是自然定义的。所谓微分同胚则是光滑的映射且其逆也 光滑。 而所谓“抽象的”光滑流形就是欧式空间的允许相差一个微分同胚意义下的光滑子 流形。世界上根本不存在所谓“更抽象的”有限维的光滑流形（Whitney 定理）。为什 么我们总是要用抽象的定义来折磨学生们呢？把闭二维流形（曲面）的分类定理证给学 生们看不是更好吗？恰恰是这样的精彩定理（即任何紧的连通的可定向的曲面都是一个 球面外加若干个环柄似的把手）使我们对现代数学是什么有了一个正确的印象，相反的 是，那些对欧式空间的简单的子流形所做的超级抽象的推广，事实上压根没有给出任何 新的东东，不过是用来展示一下那些公理化学者们成就的蹩脚货。 对曲面的分类定理是顶级的数学成就，堪与美洲大陆或 X 射线的发现媲美。这是数 学科学里一个真正的发现，我们甚至难以说清到底所发现的这个事实本身对物理学和数 学哪一个的