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PAGE  PAGE 7 关于套利组合最大收益问题的求解 　　摘要：本文从两个方面论述了套利组合最大收益问题的求解。一是对于一些简单情形直接用线性代数方法求解，分析和给出了这些情形下的某些结论。二是对于一般情形通过建立线性规划模型求解，并使得运算简化。 　　关键词：套利组合 最大收益 分析 求解 　　一、套利组合最大收益简单情形的求解 　　（一）概念与例的分析 　　分别用[xj]、[βji]和[E（rj）]表示按市值计算的投资者对证券[j]持有量的改变量、证券[j]的收益率对因素[i]的敏感度和证券[j]的期望收益率。套利组合满足以下三个条件： 　　[j=1nxj=0]，（2）[j=1nβjixj=0 （ i=1， 2， …， s）]，单因素模型为[j=1nβjxj=0]，[j=1nxjE（rj）0]。 　　例1 假定某投资者的股票组合如下表所示 　　该问题的套利组合表示为 　　解前两个方程组成的齐次线性方程组，对其系数矩阵施行初等行变换 　　[1110.81.21.6→11100.40.8→111012→10-1012] 　　得到其在[R3]内的全部解：[k[1，-2，1]]，即[x1=k]， [x2=-2k]， [x3=k]这里[k∈R]，[R]为实数集。将上述解的一般形式带入套利组合中的第三式，得出（与下面例2的解法相似）[x1=15]， [x2=-30]， [x3=15]。这表明，应再买进15万元的A股票和15万元的B股票，卖出30万元的B股票。 　　从该例看出，对于单因素套利模型，并非期望收益率最高的股票买进增量越大越好。在该例中，为获得套利组合的最大收益，并非将A股票和B股票全部卖掉后全部买进期望收益率最高的C股票。事实上，若将A股票和B股票全部卖掉而全部买进C股票，则有[x1=-30]， [x2=-30]， [x3=60]。这不满足中的第二个方程，说明这样不符合套利组合不承担因素风险的要求。那么，对于单因素套利模型，为使得套利组合的收益最大，是否一定要将期望收益率最低的股票全部卖掉呢？看下面一个与例1略有不同的例子。 　　例2 假定某投资者的股票组合如下表所示 　　[股票＼敏感系数＼预期收益率 　　解前两个方程组成的齐次线性方程组（与例1完全相同），得到其在[R3]内的全部解：[k[1，-2，1]]，即[x1=k]， [x2=-2k]， [x3=k] 这里[k∈R]，[R]为实数集。将上述???的一般形式带入套利组合中的第三式，有[0.15k-0.24k+0.1k0]，即[0.01k0]，因此，[k0].要使得套利组合的预期收益最大，就是要使[0.01k]最大（[k0]），于是[k]应尽可能地大；由于原有30万元B股票，故[-2k≤30]，即[k≤15] 因此，要使得套利组合的预期收益最大，应取[k=15]，即[x1=15]， [x2=-30]， [x3=15]。这表明，应卖出30万元的B股票，再买进15万元的A股票和15万元的B股票。 　　该例中全部卖掉的不是期望收益率最低的C股票，而是期望收益率居中的B股票。事实上，若将C股票全部卖掉，即[x3=-30] 于是中前两个方程分别变为[x1+x2=30]与[0.8x1+1.2x2=1.6×30]。联立这两个方程，解得[x1=-30]， [x2=60]。但这会使得中最后一个不等式的左边小于零，说明预期是赔本的。这是因为若将C股票全部卖掉，引起A股票和B股票的相应变动，而这三只股票的变动要符合套利组合的前两个条件。于是必须再将A股票全部卖掉，并将卖掉A股票和C股票的全部资金都用来购买B股票。但由于B股票的期望收益率低于C股票的期望收益率较多，造成亏损。 　　以上两例对于为什么不一定要卖掉其他股票而全部购买期望收益率最高的股票或卖掉期望收益率最低的股票去买其他股票的分析，对于考虑交易费用的情形也是有意义的。 　　例1和例2都属于单因素套利模型的例子，对于一些简单的双因素套利模型仍可用类似的解法，这里不再赘述。注意到在例1的和例2的中，各自前两个方程组成的齐次线性方程组的未知量个数与其系数矩阵的秩之差都等于1，也即只有1个自由未知量，用上述线性代数方法可以求解套利组合的最大收益问题。但对于单因素或多因素模型组成的齐次线性方程组中未知量个数与其系数矩阵的秩之差都≥2，也即自由未知量个数≥2的情形，尤其在考虑交易费用情况下直接用线性代数方法求解套利组合的最大收益问题会有很多麻烦。 　　（二）两只股票的单因素套利 　　假定某投资者拥有两只股票[A]与[B]，[xA]与[xB]分别表示按市值计算的投资者对这两只股票持有量的改变量；[βA]与[βB]分别表示股票[A]与股票[B]的收益率对宏观因素的敏感度；[E（rA）]与[E