新型华科数理方程课件第5章.ppt

数学物理方程与特殊函数 第5章贝塞尔函数 第五章 贝塞尔(Bessel)函数 5.1 贝塞尔方程的导出 设有半径为R的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。 问题归结为求解如下定解问题： 令： 令： 周期特征值问题 的特征值和特征函数分别为 n阶贝塞尔方程 5.2 贝塞尔方程的求解 假设n为实数,令 由于 ，所以有 为了方便求解贝塞尔方程，令： 则n阶贝塞尔方程化为： 情形1 n不为整数和半奇数 当c = n时 ,则有 令 于是, 得到贝塞尔方程的一个特解(称为n阶第一类贝塞尔函数) 当p为正整数时 当p为负整数或零时 当c = -n时，令 于是, 得到贝塞尔方程的另一个特解(称为-n阶第一类贝塞尔函数) 显然 线性无关，于是n阶贝塞尔方程的通解为 (称为n阶第二类贝塞尔函数(诺依曼函数) ) 如果取 , 则得到方程的另一个与 线性无关的特解 于是, n阶贝塞尔方程的通解又可表示为 情形2 n为整数。 线性相关。令 可以证明 线性无关的特解， 是贝塞尔方程的与 于是，此时n阶贝塞尔方程的通解为 当 时,有 不妨设 即 直接计算可知 是n阶Bessel方程的解，且此时 所以， 也是n阶Bessel方程的解。 令l=m-n,得 A、B为任意常数， n为任意实数 综上所述,n阶贝塞尔方程 的两个线性无关特解： 于是，n阶贝塞尔方程的通解为： 情形3 n为半奇数(类似讨论) 性质1 有界性 性质2 奇偶性 5.3 贝塞尔函数的性质 当n为正整数时 性质3 递推性 例1 求下列微积分 例2 证明方程 的解为 证明 性质4 初值 性质5 零点 有无穷多个对称分布的零点 和 的零点相间分布 的零点趋于周期分布， 性质6 半奇数阶的贝塞尔函数 性质7 大宗量近似 当x充分大时，有 进一步，有 性质8 正交性 称 n阶贝塞尔函数系 在区间(0,R)上带权函数r正交： 其中 为n阶贝塞尔函数的零点，即 为n阶贝塞尔函数 的模。 正交性的证明：先将n阶贝塞尔方程写成如下形式 则有 记 于是 取 并利用 即可证得结论。有关贝塞尔函数模的计算请大家自己完成。 5.4 傅立叶--贝塞尔级数 定理 如果 在(0,R)内分段连续,且积分 的值有限，则 能展成傅立叶—贝塞尔级数： 并且在 的连续点,级数收敛于 ；而在 的间断点，级数收敛于 ，其中 例3：将1在 区间内展成 的级数形式. 解 ，其中 由于 从而 于是有 例4：将x在0x2区间内展成 的级数形式 解 ，其中 由于 从而 于是有 例5：将 在0x1区间内展成 的级数形式 解 ，其中 由于 从而 于是有 例1 圆形薄盘上轴对称热传导问题 设有半径为1的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度分布为 ，其中r为圆盘内任一点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规律。 5.5 贝塞尔函数的应用 解 令： 零阶贝塞尔方程的特征值问题 不是特征值； 零阶贝塞尔方程的通解为 由自然边界条件 记 贝塞尔函数的正零点，则 为零阶 从而，原定解问题的形式级数解为： 由初始条件，有： 于是得到一系列分离变量形式的特解 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 例2 圆形薄盘上转动对称热传导问题 设有半径为b的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度分布为 ，其中r为圆盘内任一点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规律。 解 以圆形薄膜的中心为原点，建立极坐标。于是有定解问题 周期特征值问题 的特征值和特征函数分别为 类似轴对称情形,由分离变量法,令 n阶贝塞尔方程的特征值问题 于是得到一系列分离变量形式的特解 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的形式级数解为 由初始条件得 由傅里叶—贝塞尔级数的性质，得 于是，有 从而，原定解问题的形式级数解为：