文科经管类微积分第九章常微分方程.pptVIP

—— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第五十六讲 脚本编写： 教案制作： 微分方程的基本概念 设所求曲线的方程为yy(x). 例1. 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程. 根据导数的几何意义, 可知未知函数yy(x)应满足 解: 此外, 未知函数yy(x)还应满足下列条件: 由(1)式得， 其中C是任意常数. 把条件“x1时, y2”代入(3)式, 得 212C, C1. 把C1代入(3)式, 得所求曲线方程: yx21. 下页 微分方程 常微分方程与偏微分方程 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 下页 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 例2. 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶; 当制动时列车获得加速度0.4m/s2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解: 设列车制动后t秒所行驶的距离为s(t)米. 根据题意未知函数ss(t)应满足: s=-0.4. —(1) s|t0=0, s|t0=20. —(2) 由(1)式，积分一次, 得 s=-0.4tC1; —(3) 再积分一次, 得 s0.2t2 C1tC2, —(4) 这里C1, C2都是任意常数. 把条件s|t0=20代入(3)式得 20C1; 把条件s|t0=0代入(4)式得 0C2. 把C1, C2的值代入(3)及(4)式得 v0.4t20, —(5) s0.2t220t. —(6) 在(5)式中令v0, 得t=50(s). 再把t50代入(6), 得 s0.25022050500(m). 下页 提示: 微分方程 常微分方程与偏微分方程 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 下页 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. 提示: 这是一阶微分方程 这是二阶微分方程 几个基本概念 下页 几个基本概念 提示: 微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解. 在例1中, 微分方程y=2x的解有y=x2C和y=x21. 在例2中, 微分方程s=-0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和s0.2t220t. 下页 求所给函数的导数: 解: 这表明函数 满足所给方程, 因此所给函数是所给方程的解. 下页 例2 由上式得: 下页 若一个函数中出现的两个常数不能通过运算合并为一个 常数，那么这两个常数是独立的， 中的 是独立的， 而 中的 可以合并为一个常数， 所以这里的　 　不独立． 例如 常数互相独立 几个基本概念 提示: 微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解. 通解 如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解. 特解 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解叫特解. 在例1中, 微分方程y=2x的解有y=x2C和y=x21. 在例2中, 微分方程s=-0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和s0.2t220t. 下页 解 通解 特解 其它 共同点： 不同点： 几