4_3自动控制原理奈氏图华中科技大学.pptVIP

4－3 奈奎斯特稳定判据;一、幅角定理(Kauthy 幅角定理) 幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的。由于奈氏判据是以幅角定理为依据的，因此有必要先简要地介绍幅角定理。 设有一复变函数 称之为辅助函数，其中 是系统的开环传递函数.; 假设复变函数 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数,也就是说 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析点，在 平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外，在S平面上任取一点，如 则; 如图4—37所示，在 平面上有点 与S平面上的点 对应, 就叫做 在 平面上的映射点。 ; 如图4—38所示，如果解析点 在S平面上沿封闭曲线 （ 不经过 的奇点）按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数 在 平面上的映射也是一条封闭曲线 ，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函数的性质而定。 ;（二）幅角定理（映射定理） 设 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选一封闭曲线?s，并使?s不通过 的奇点，则S平面上的封闭曲线?s 映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线?F。当解析点s按顺时针方向沿?s 变化一周时，则在 平面上， ?F 曲线按逆时针方向绕原点的周数N等于封闭曲线?s内包含F(s) 的极点数P与零点数Z之差。即 N=P-Z （4—108） 式中，若N0，则?F按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N0，则?F按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周；且若 N=0，则?F不包围F(s)平面坐标原点。 在图4—38中,在S平面上有三个极点P1、P2 、P3和三个零点Z1、Z2、Z3 。被?s 曲线包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2，包围的极点只有P2 ，即P=1，由式（4—108）得 N=P-Z=1-2=-1 说明?s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线?F顺时针绕F(s)平面原点一周。 由幅角定理，我们可以确定辅助函数 被封闭曲线?s 所包围的极点数P与零点数 Z的差值P-Z。 ; 前面已经指出， 的极点数等于开环传递函数 的极点数，因此当从 平面上确定了封闭曲线?F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上封闭曲线?s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出来 Z=P-N （4-109） 封闭曲线?s和?F 的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单说明。 设有辅助函数为 （4-110） 其零、极点在S平面上的分布如图 4—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线?s , ?s不通过上述零、极点，在封闭曲线?s 上任取一点 , 其对应的辅助函数 的幅角应为 (4-111); 当解析点s1沿封闭曲线?s按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现，所有位于封闭曲线?s 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲线?s 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2pi弧度（一周）。这样，对图4—39（a），Z=1，P=0， ，即N=－1， 绕 平面原点顺时针旋转一周；对图4—39（b），Z=0，P=1，