一、n維向量.pptVIP

一、ｎ维向量 １、定义 ｎ维向量写成一行称为行向量， ｎ维向量写成一列称为列向量， ２、几种特殊向量 　　实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型， 向量相等. 　　注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清. ３、矩阵与向量的关系 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． ５、向量组 ６、向量空间 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足 ①对加法封闭 ②对数乘封闭 那么就称集合Ｖ为向量空间. ４、向量的运算 向量的运算与采用矩阵的运算规律. 二、向量的线性相关性 1、基本概念 定义Ⅰ　给定向量组 ，对于任何一组数 ，称向量 为向量组的 一个线性组合（Linear Combination）. 为组合的组合系数（Combination Coefficient）. 定义Ⅱ　设向量组 及向量β有关系 则β称为向量组的一个线性组合，或称β可由向量组Ａ 线性表示（Linear Expression）. 称为β在该线性组合下的组合系数. 定义Ⅲ　设两向量组 若向量组Ａ中每一个向量皆可由向量组Ｂ线性表示， 则称向量组Ａ可以由向量组Ｂ线性表示. 若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价. 向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性. 定义Ⅳ　设ｎ维向量组 为零的数 ，使得 则称向量组 ，如果存在不全 线性相关（Linear Dependent）. 反之，若当且仅当 ，才有 则称向量组 线性无关（Linear Independent）. 即存在矩阵 三、向量组的秩 １、极大线性无关组 若满足： ２、向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩． 记作：Ｒ(Ａ)　或 ３、向量组的秩与矩阵的秩的关系 定义 矩阵 Ａ的列向量组的秩称为列秩，记为： Ａ的行向量组的秩称为行秩，记为： 定理 结论 定理 有相同的线性关系. 相同的线性关系是指： ④　非奇次线性方程Ａｘ＝β有解. 向量组Ａ可由Ｂ线性表示，则 ②　若ｒ＞ｓ，则Ａ线性相关. ③　Ａ线性无关，则ｒ≤ｓ. ④　Ｒ(Ａ) ≤Ｒ(Ｂ) . ⑤　等价向量组必有同秩．（反之则不然） ①　存在矩阵 定理 如果向量组 线性相关，则β可由Ａ唯一线性表示. 线性无关，而向量组 定理 设向量组 若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若 向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关. 定理 设向量组 若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若 向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关. 其中 3、设β可由　　　　　线性表示，证明：表达方法唯一　　　　　线性无关. 4、设向量组　　　　　　　能由向量组　　　　　　线性表示为　　　　　　　　　　　　　　　，其中Ｈ为矩阵，且Ａ组线性无关.证明Ｂ组线性无关的充分必要条件是Ｒ(Ｈ）＝ｒ. 一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、向量组的相关性论证 四、基础解系的证法 五、解向量的证法 典　型　例　题 研究这类问题一般有两个方法 方法1　从定义出发 整理得线性方程组 一、向量组线性关系的判定 方法２　利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 　　　　系判定 例１　研究下列向量组的线性相关性 证明 证明 二、求向量组的秩 三、向量组的相关性论证 对已知的抽象向量组来推断其它的向量组的相关性等。 例６　证明与基础解系等价的线性无关的向量组 也是基础解系． 四、基础解系的证法 分析 (3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示． (1)该组向量都是方程组的解； (2)该组向量线性无关； 证明 　　注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取 法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的． 五、解向量的证法 证明 第四章　　测试题 一、填空题(每小题5分，共40分)． 二、计算题 (每小题8分，共24分)． 三、证明题 (每小题8分，共24分)． 四、向量组 线性无关,问常数 满足 什么条件时,向量组 线性无关． (12分) 测试题答案