02_04单元刚度矩阵.doc

PAGE  PAGE 7 §2-4 单元刚度矩阵 第四步：利用平衡方程，建立节点力和节点位移之间的关系，即用单元节点位移表示节点力。 上节己给出了用节点位移表示单元应力和应变。本节来推导单元节点力和节点位移之间的关系。 节点力和节点位移间的关系 节点力是指弹性体离散化之后，外载、约束和其他单元通过节点作用在某一单元上的力。 图2-11 三角形单元的节点 位移和节点力 对于己从整体结构中取出来的单元来说，作用在其上的节点力就是外力。这些节点力在单元内部会引起相应的应力。 当整体处于平衡状态时，单元在节点力作用下也处于平衡状态。 在平面问题中节点力有二个分量，分别用U和V加节点号下标表示该节点水平和垂直节点力分量(有时还再加单元号上标表示该单元上的节点力)。 节点力的方向以节点对单元的力沿坐标正方向为正，反之为负。 对三节点三角形单元来讲，共有六个节点力分量(如图2-11所示)。用列阵表示为： ； (2-24) 虚位移原理 为了推导单元的节点力与单元节点位移之间的关系，要用到虚位移原理。 节点力和节点位移间的关系 虚位移原理在一处于平衡状态的单元上的数学描述为：单元上节点力(外力)在某一虚位移上所作的虚功应等于单元应力(内力)在相应虚应变上所作的虚功。设单元节点处的虚位移为 ；= (i,j,m) (2-25) 采用和真实位移相同的位移模式，则单元内各点的虚位移为 (a) 相应虚应变为 (b) 于是虚功方程可写成  (2-26) 将(b)式及(2-18)式代入上式，得  根据矩阵乘法逆序法则，上式可以写成 由于列阵中的元素是常量，即与单元内点的位置坐标x，y无关，上式右边的可以提到积分号前面去。 又由于虚位移可以是任意的，所以矩阵也是任意的，因此等式两边与它相乘的矩阵应当相等，于是得  (2-27) 令  (2-28) 则(2-27)式得  (2-29) 这就是节点力与节点位移之间的关系式。 由于〔D〕中的元素是常量，而且在线性位移模式的情况下，〔B〕中的元素也是常量，同时，(单元??积)，则公式(2-27)与(2-28)就简化为  (2-30) (2-31) 矩阵反映了单元节点力与节点位移之间的关系，所以称其为单元的刚度矩阵。矩阵表示该单元各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于单元的形状，大小，方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。 单元刚度矩阵的计算 为了计算单元刚度矩阵的值，将(2-31)式展开可得 (2-32) 对于6自由度的三角形三节点单元，其单元刚度矩阵为6×6阶方阵。其中子矩阵 (r,s=i,j,m)是九个2×2阶方阵，它们写成一个统一的计算格式，即 (r,s =i,j,m) (2-33) 式中 (r，s =i，j，m) 对于平面应力问题 (r,s =i,j,m) (2-34) 对于平面应变问题 (r,s =i,j,m) (2-35) 单元刚度矩阵的物理意义 单元刚度矩阵表示三角形单元抵抗变形的能力，即表示了节点位移与节点力之间的关系。 将(2-29)式写成下面形式 (2-36) 根据矩阵乘法可得 (2-37) 从(2-37)式的第一式可以看出，、、分别表示使节点i、节点j与节点m产生单位位移时，在节点i上所需要施加的节点力的大小，即在单元节点i处产生的作用力。 则表示节点j产生位移时，在节点i处所产生的弹性力，其余类推。由此可知： 子矩阵表示使节点s(s=i,j,m〕产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)处所产生弹性力的大小。 现将单元刚度矩阵子矩阵展开成如下形式 并将(2-37)式中节点力列阵与节点位移列阵均展开成6×1阶列矩阵，则（2-29）式所列平衡方程为 (2-38) 由此可见，单元刚度矩阵中的每一个元素都有其明显的物理意义，即表示后一下标所示的节点的某一方向上产生单位位移时，在前一下标所示的节点的某一方向上所产生的作用力。其中元素(r、s=i,j,m)的下标上有“一”的表示水平方向，没有“一”的表示垂直方向。例如： 表示节点i在水