1维随机变量的分布函数.doc

关于一维随机变量分布函数的讨论 The disscussion for distribution function of One random variable 分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性，并且分布函数具有良好的性质，它使得许多概率论问题得以简化而归结为函数的运算，因此掌握好分布函数是研究随机变量的有效方法． 在学习过程中我们却发现，不同的教学参考书对分布函数的定义有所不同，这两个定义有何异同之处？对随机变量落在某区间的概率有何影响？本文主要从这两个方面展开讨论． 一、两个定义下分布函数的异同 两个定义 设是随机变量，为任意实数， 定义1 称函数≤为的分布函数[1]45． 定义2 称函数为的分布函数[3]119． 离散型随机变量的分布函数 从一个例子来看两个定义下分布函数的异同之处． 例1 [1]45 随机变量的分布律如下表： 求其分布函数． 解：用定义1和定义2求得的分布函数分别如下： ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ 需要指出的是：用两个定义求得的分布函数和均唯一．即用定义1求分布函数时，中的分段方法是不可取的，如：当时，；时，；而时，．可知，利用定义1求分布函数时，将区间划分为≤是合理的，而划分为≤则是不可取的．同理，用定义2求分布函数时，也不能用中的分段方法．这样的结论具有一般性： 结论1 用两个定义求得的分布函数都是分段函数，随机变量的取值为分段函数的分界点，且在相同的开区间上，的取值相同．区别仅在于分界点处，定义1中确定的分布函数中的范围总是左闭右开区间（最两端的区间为），而定义2中确定的分布函数的的范围总为左开右闭区间（最两端的区间为）． 用函数的连续性定义求和在分界点处的连续性可知，为右连续的函数，而为左连续函数，这个结论也具有一般性： 结论2 两个定义求出的分布函数都是阶梯函数，且在处的跃度均为该点的取值的概率，区别在于定义1求得的分布函数总是右连续函数，而定义2求得的分布函数总是左连续函数． 连续型随机变量的分布函数 也用一个例子来说明 例2 设服从上的均匀分布，其???率密度函数为[1]： ， 对于其分布函数，不同的教学参考书有如下几种形式： ≤ ≤≤, ≤, ≤ ≥ 可以看到，不同之处也只在于区间端点处，但事实上，以上三个函数在处均连续，所以是相同的函数．即不论是用定义1还是定义2，所求得的分布函数都是相同的．一般性的结果如下： 结论3 对于连续型随机变量，用两个定义求得的分布函数本质上并无区别，但在表示形式上会稍有不同． 二、用计算随机变量落在任意区间上的概率 离散型随机变量的概率 例3 对于例1中的随机变量，分别用和求以下概率：，≤， ，≤． 解： ， ≤， ， ≤． 由以上过程得出如下结论： 结论4 对于离散型随机变量落在任意区间上的概率，利用两种定义得到的分布函数求出的结果完全一样，但是求解过程有所不同，具体如下[4]： ≤ ①≤ ①≤ ② ② ③≥ ③≥ ④ ④ ⑤ ⑤ ⑥≤ ⑥≤ ⑦≤ ⑦≤ ⑧≤≤ ⑧≤≤ ⑨ ⑨ 连续型随机变量的概率 对于连续型随机变量，其分布函数是上的连续函数，即， 有：，因此有如下结论： 结论5 连续型随机变量在任意区间上的概率由分布函数表示如下： ①， ②≤， ③≥， ④≤≤≤≤． 总之，对于随机变量的分布函数的不同定义，离散型随机变量在区间划分上稍有不同，连续型随机变量则无区别；反之，由分布函数求随机变量落在任意区间内的概率时，两种分布函数求得的结果完全一样，但相应的计算式有所不同． 下面给出随机变量的分布函数的性质： 三、分布函数的性质 不论是离散型还是连续型随机变量，其分布函数均有如下性质： 性质1 单调性：是定义在上的单调递增的函数； 性质2 有界性：≤≤，且，； 性质3 右(左)连续性：()是上的右(左)连续函数，即对于任意实数 ，有 () 对于连续型随机变量而言，其分布函数在某些特定的条件下，也有一些特殊的性质，这里归纳如