2007计算力学第1二课.doc

PAGE  1－PAGE 18 《边界元法基础》上海交通大学出版社 王元淳 《有限元与边界元法》哈尔滨工程大学出版社 朱加铭 第一章 有限元法引论（4学时） 1.1有限元法引论 常用的数值分析方法就是差分法（有限差分法）和有限元法。 1.2直观有限元法 直观地使用节点连接离散构件来逼近连续结构，并利用结构力学中的位移法或力法建立有限元计算格式。这种方法就叫直观有限元法，或简称直接法。 一、直接法 令和分别表示点1沿x和y方向的位移分量，当使点1分别沿x、y方向移动单位位移(如图)时，桁架各杆所产生的内力(轴力)沿x、y方向的分量分别记为 ，；，；，； ，；，；，； 对节点1 当时， 当时， 桁架在己知外力作用下，即在，的作用下，点l的实际位移分量为和，由点1的平衡条件得， → → 这样把求解桁架节点位移的问题转变成求解代数方程组，已知{P}和[K]，求得{u}以后，桁架各杆的伸长、应变、内力和应力等都很容易得到解决。 二、推广 1.3力学能量原理 工程实际中的很多固体力学问题可归结为两种描述：微分方程和能量原理。 非变分的←→真实的运动或位移。 变分原理←→满足边界条件的可能的运动或位移。 微分形式←→某一瞬时。 积分形式←→某一有限的时间间隔或过程 系统的能量极值原理，或变分原理指出；亦所有满足内部连续条件和运动学边界条件的位移中，满足平衡方程的位移使体系的总势能取驻值．如果驻值是极小值，则平衡是稳定的．反之。使系统势能取驻值的位移函数，则是表达平衡状态的微分方程的解． 设系统有n个自出度，即有n个广义坐标，相应的n个广义位移用、、……、表示，则系统的总势能可表示为广义位移的函数 势能的变分为： 总势能取驻值，则有 由于可能位移{?u}是任意不为0的，要满足上式则必须是式中的系数都等于零，即 或→ 【例】考虑图示两个自由度系统．设横梁为不计重量的刚体，两根支承弹簧的弹性系数分别为和，确定在力P作用下横梁的平衡位置． 【解】：取位移u和转角?为系统的广义位移，从图可知系统的 变形能为： 外力功为： 系统的势能为： 求变分： 整理成矩阵型式 三、势能的一般表达式 对于复杂系统很难写出势能的显式，但任意弹性系统的势能，总可以用六个应力分量和六个应变分量： 系统内任一点的位移分量记为 设系统的初应力为 则有， 当系统的体积元发生微小变形{??}时，应力变为{?+??}其单位体积的应变能增量(应变能密度的增量)为 → → 将上式对应变进行积分，可得应变能密度式为 设系统单位体积上的体积力为： 设系统边界上的表面力(单位面积上的表面力)为： 则，系统的势能为 分析过程 1.将连续体离散成一些单元的组合； 2.各单元间只在节点处互相连接，互相作用 3.将实际外载荷按力学等效原则转移到节点上去，使其只在节点处有外力作用； 4.建立节点或单元的平衡方程 或更具体地，基本思路： ⒈将结构离散成在节点处联结的各个单元的组合体 ⒉编排单元号码与节点号码 ⒊将非节点荷载(如自重)移置到节点上 ⒋求出以节点位移表示的单元节点力 ⒌建立节点平衡方程式 ⒍求单元的内力或应力 小结：采用这样的思路需要解决以下几个问题： ⒈单元怎样划分?编排单元码和节点码有什么原则 ⑴杆件的交点一定要选为节点 ⑵变截面处一定要选为节点 ⑶支承点与自由端要取为节点 ⑷集中荷载作用处最好取为节点 ⑸欲求位移的点要为节点 ⑹单元长度最好基本相同 2.节点力怎样用节点位移表示 ⑴位移方向，u→，v↑，?逆时针为正 ⑵单元节点单位位移引起的单元节点力用结构力学中讲过的力法求得 ⑶单元节点力正方向规定如下：U→，V↑，M逆时针为正 附加：数学变分法简介 变分法是有限元法和能量法的数学基础之一，因此，变分法是有限元法的预备知识。 ①泛函的概念 如上图所示，求过A，B两点的曲线的长度。 由图(a)可见，在A，B两点已确定的条件下，曲线长度L已与x取什么值无关，而只与y取什么样的函数(曲线)形式有关，此时，L是随y的变化而变化(y有无限多条)，而不是直接随x的变化而变化。 ②泛函的定义 从上例，如果对于某一族函数中的每一个，?有一个值与之对应，如果变量?对于函数的关系成立，那么，变量?叫做依赖于函数的泛函，记为，简言之，泛函是函数的函数（但不是隐函数）。也叫泛函?的宗量。 ③变分问题与变分法 凡有关求泛函极大值和极小值的问题，都叫做变分问题 求泛函极大植和极小值的方法叫做变分法。 ④泛函极值判定条件 设有一泛函，其一阶变分为，二阶变分为，其取极值的条件与函数取极值的条件相似，即 当时，?取极值。 若同时有：时，?取极小值；时，?取极大值。 ⑤变分的计算方法 泛函的变分： 微分与变分能够互调：， 积分与变分能够互调：设，则 …… ⑥变分法的基本预备