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3第3章流体运动学
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第三章 流体运动学
3-1 已知流体质点的运动,由拉格朗日变数表示为 x =aekt,y =be-kt,z =c,式中k是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。
解:(1)由题给条件知,流体质点在z=c的平面上运动,消去时间t后,得
xy=ab
上式表示流体质点的迹线是一双曲线族:对于某一给定的(a,b),则为一确定的双曲线。
(2)
(3)
3-2 已知流体运动,由欧拉变数表示为ux =kx,uy =-ky,uz =0,式中k是不为零的常数。试求流场的加速度。
解:
,
3-3 已知ux =yzt,uy =zxt,uz =0,试求t =1时流体质点在(1,2,1)处的加速度。
解:
3-4 已知平面不可压缩液体的流速分量为ux =1-y,uy =t。试求(1)t =0时,过(0,0)点的迹线方程;(2)t =1时,过(0,0)点的流线方程。
解:(1)迹线的微分方程式为
积分上式得:,当t=0时,y=0,C1=0,所以
(1)
,积分上式得:
当t=0时,x=0,C2=0,所以
(2)
消去(1)、(2)两式中的t,得有理化后得
(2)流线的微分方程式为,积分上式得
当t=1时,x=y=0,C=0,所以可得:(为非恒定流)
3-5 已知ux =x+t,uy =-y+t,uz =0,试求t =2时,通过点A(-1,-1)的流线,并与例3-3相比较。
解:由例3-3可得:
当t=2,x=-1,y=-1,C=3。因此,通过点A(-1,-1)的流线为
上式不同于例3-3,即当t=0时通过A点的流线为xy=1,说明不同时刻的流线不同。
3-6 试求例3-6流体运动的流线方程和流体质点通过点A(1,0)流线的形状。
解:例3-6流体运动如题3-6图所示 ,
题3-6图
流线方程:
积分,得,
圆心(0,0),半径。
当x=1,y=0,代入上式得C2=1。()=1,
为一圆,因是恒定流,不同时间为同一圆。
3-7 已知,,=0,式中是不为零的常数。试求:(1)流线方程,(2)t =1时,通过点A(1,0)流线的形状,(3)将求得的流线方程与习题3-6求得的流线方程相比较,它们有什么异同。
解:=0,为平面(二维)流动。
(1)流线方程 将、代入上式,得
,
积分得 ,流线方程一般形式:。
(2)t=1,x=1,y=0,代入上式,得C2=1;流线为=1,流线的形状为一圆。
(3)因是非恒定流,不同时间为不同的圆,如t=2,x=1,y=0,C2=2,
3-8 试证明下列不可压缩均质流体运动中,哪些满足连续性方程,哪些不满足连续性方程。(1)ux=-ky,uy=kx,uz=0;(2)ux=kx,uy=-ky,uz=0;(3)ux=,
uy=,uz=0;(4)ux=ay,uy=uz=0;(5)ux=4,uy= uz=0;(6)ux=1,
uy =2;(7)ux =4x,uy =0;(8)ux =4xy,uy =0。
解:平面流动中,不可压缩均质流体的连续性方程为
(1)0+0=0;(2)k-k=0;(3);(4)0+0=0;
(5)0+0=0,(6)0+0=0;(7)4+0≠0,(8)4y+0≠0。
(1)~(6)的流体运动满足连续性方程;(7)、(8)的流体运动不满足连续性方程,实际上流动是不能实现的。
3-9 已知水平圆管过流断面上的流速分布为, umax为管轴处最大流速,r0为圆管半径,r为点流速u距管轴的径距。试求断面平均速度v。
解:
3-10 已知水平圆管过流断面上的流速分布为,umax为管轴处最大流速,为圆管半径,y为点流速ux距管壁的距离。试求断面平均流速v。
解:
。
3-11 设一有压管流经圆管进入圆锥形的收敛管嘴,如图所示。已知圆管直径dA =0.2m,流量Q =0.014m3/s;dB =0.1m。试求经过圆管内点A和收敛管嘴内点B的过流断面的平均流速vA、vB。注:经过点B的过流断面面积,可近似地视为球缺或球冠表面积,为(不包括底面面积)。
解:==
经过点B的过流断面面积,可近似地视为球缺面积
AB=,式中h=(0.05-0.05cos450)m =0.015m,R=0.05m。
因此
3-12 送风管的断面面积为50 cm×50cm,通过a、b、c、d
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