伟大的康托尔和集合论.doc

简介 　　?  HYPERLINK /image/c8ab0bce26f2e12ab600c811 \o 查看图片 \t _blank ?? ? 集合论或集论是研究 HYPERLINK /view/15216.htm \t _blank 集合（由一堆抽象物件构成的整体）的 HYPERLINK /view/1284.htm \t _blank 数学理论，包含集合、 HYPERLINK /view/19993.htm \t _blank 元素和 HYPERLINK /view/209656.htm \t _blank 成员关系等最基本数学 HYPERLINK /view/45333.htm \t _blank 概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和 HYPERLINK /view/1838.htm \t _blank 逻辑与 HYPERLINK /view/448614.htm \t _blank 一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。 　　在 HYPERLINK /view/421147.htm \t _blank 朴素集合论中，集合是被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。 　　在 HYPERLINK /view/607089.htm \t _blank 公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些 HYPERLINK /view/326184.htm \t _blank 公理。在此一想法之下，集合和集合成员是有如在 HYPERLINK /view/17581.htm \t _blank 欧式几何中的 HYPERLINK /view/64856.htm \t _blank 点和 HYPERLINK /view/353156.htm \t _blank 线，而不被直接定义。 对集合论的异议 　　一开始，有些数学家拒绝将集合论当做数学的基础，认为这只是一场含有奇幻元素的游戏。埃里特·比修普驳斥集合论是“ HYPERLINK /view/3238.htm \t _blank 上帝的数学，应该留给上帝”。而且， HYPERLINK /view/889362.htm \t _blank 路德维希·维特根斯坦特别对无限的操作有疑问，这也和策梅罗-弗兰克尔集合论有关。维特根斯坦对于数学基础的观点曾被保罗·贝奈斯所批评，且被克里斯平·赖特等人密切研究过。 　　对集合论最常见的反对意见来自结构主义者，他们认为数学是和计算些微相关着的，但朴素集合论却加入了非计算性的元素。 　　拓朴斯理论曾被认为是传统公理化集合论的另一种选择。拓朴斯理论可以被用来解译各种集合集的替代方案，如 HYPERLINK /view/37895.htm \t _blank 结构主义、模糊集合论、有限集合论和可计算集合论等。 集合论（Set theory） 作用 　　按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如 HYPERLINK /view/19911.htm \t _blank 自然数、实数、 HYPERLINK /view/15061.htm \t _blank 函数）。从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础。 历史 　　集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一，是在19世纪末由德国的 HYPERLINK /view/34267.htm \t _blank 康托尔（1845－1918）创立起来的。但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前。 无穷集合的早期研究 概念 　　集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。集合作为数学中最原始的概念之一，通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。例如 HYPERLINK /view/190913.htm \t _blank 美国国会图书馆的全部藏书，自然数的全体以及直线上所有点的总体等等。集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。 创立之前 　　早在集合论创立之前两千多年， HYPERLINK /view/66878.htm \t _blank 数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题， HYPERLINK /view/64778.htm \t _blank 古希腊的学者最先注意并考察了它们。公元前5世纪，埃利亚学派的 HYPERLINK /view/133373.htm \t _blank 芝诺（约公元前490－前430），一共提出45个 H