参数估计基本理论.doc

PAGE  PAGE 9 第3章 参数估计的基本理论 信号检测：通过准则来判断信号有无； 参数估计：由观测量来估计出信号的参数； 解决1）用什么方法求取参数，2）如何评价估计质量或者效果 严格来讲，这一章研究的是参数的统计估计方法，它是数理统计的一个分支。 推荐两本参考书高等教育出版社《数理统计导论》，《Nonlinear Parameter Estimation》。 我们首先从一个估计问题入手，来了解参数估计的基本概念。 估计的基本概念 估计问题 对于观察值是信号和噪声叠加的情况： 其中是信号的参数，或就是信号本身。若能找到一个函数，利用可以得到参数的估计值，相对估计值，称为参数的真值。则称为参数的一个估计量。记作。 在上面的方程中，去掉n实际上是一个多元方程求解问题。这时，如果把n看作是一种干扰或摄动，那么就可以用解确定性方程的方法来得出。但是我们要研究的是参数的统计估计方法，所以上面的描述并不适合我们的讨论。下面给出估计的统计问题描述。（点估计） 设随机变量具有某一已知函数形式的概率密度函数，但是该函数依赖于未知参数， ，称为参数空间。因此可以把的概率密度函数表示为一个函数族。表示随机样本，其分布取自函数族的某一成员，问题是求统计量，作为参数的一个估计量。 以上就是用统计的语言给出的参数估计问题的描述。 关于“统计量”的定义：不依赖于未知参数的一元（或多元）随机变量的函数。统计量的两个特征：1，随机变量的函数，因此也是随机变量；2，不依赖于未知参数，因此当我们得到随机变量的一组抽样，就可以计算得到统计量的值。 例3-1：考虑由，给定的观测样本。 其中是未知参数，为噪声，取自分布。 容易得到服从分布，s的一个估计值是： 如果未知，则它的一个估计量为： 有时估计结果会以这样的形式给出：s以95%的置信度位于区间中。我们称其为区间估计。区间估计量也可以直接计算得到，而不必先计算点估计量。 当我们以某种函数形式给出估计量以后，是不是任务就结束了呢？还有一个任务是：建立一些准则或者性能指标来评价估计的质量。 估计的偏差和无??性 若是参数的估计值，则定义估计的偏差为： （3-1） 即估计值的均值与真值的差。若估计偏差，即，则估计是无偏估计。这里隐含假定是存在的。 无偏性定义: 定义：是的一个无偏估计，若在所有可能的样本范围内的平均值等于的真值，即 （3-2）称为无偏估计，否则为有偏估计。 在有偏估计中，如果随着样本数的不断增大，偏差趋向于0，即： 则该估计称为渐进无偏估计 让我们分析例3-1的无偏性，注意数学期望是一个线性算子。 如果噪声是零均值的，即，或对所有有，则是的一个无偏估计。 从数理统计这门课，我们知道样本方差对于方差是有偏的，因为无偏估计量是。但是样本方差是渐进无偏的。 直觉上，一个好的估计量应当具有无偏性，但是实际上完全的无偏性通常是达不到的，只能希望小的偏差。而且估计的偏差也不是特别地的重要，因为估计误差不仅仅是偏差。估计的偏差和估计误差不是一回事，偏差只代表估计量的系统误差。 都是s的无偏估计量，系统误差都为零。接下来，要研究估计误差的另一个性质——估计的方差，它反映了估计量的随机误差大小。 估计的方差和Cramer-Rao（克拉美-劳）不等式 估计的方差： 方差：估计值相对于均值的分散程度。即越大就越发散，反之越小就越集中。 任何无偏估计方差的下界叫做C-R下界 用它来衡量估值方差的最小值。下面给出的定理是克拉美-劳定理的精简版。 定理：若是参数的一个无偏估计，是观测值X（）的联合条件概率密度，若存在，则该估计的方差存在一个下界，即 （3-3） 这个不等式就被称为克拉美-劳不等式，此下界被称为是估计方差的 C-R下界。 式中等式在下述条件下是成立的： （3-4） 其中是与参数有关与观测值无关的正函数。 这里把参数当作随机变量。如果其真值是客观存在的未知常数，怎么去理解？我们将参数空间，分成若干个子空间（或子集），认为将以不同的概率落入不同的子空间当中。如果实在理解不了，可以看做是。 证明 ：由于是参数的一个无偏估计，有：即 而可以写成为： ，表示 所以： 对参数求偏导： 由于有关系式： 则可以得： 根据： 有： 根据Schwarz不等式得： 即： 由于 则有： 而 所以（3-3）的不等式成立 同时，当且仅当 即： 其中是与参数有关而与观测值无关的系数时，（3-3）的等式成立。 定理给出了无偏估计最小方差的计算公式。克拉美