蒙特卡洛方法在高分子材料中的应用.ppt

第六章 高分子科学中的Monte Carlo 方法;MC方法的发展归功于核武器早期工作期间Los Alamos（美国国家实验室中子散射研究中心）的一批科学家。von Neumann, Metropolis, Ulam和Kahn等人在电子计算机上对中子行为进行随机抽样模拟，通过对大量中子行为的观察推断出所要求算的参数。Los Alamos小组的基础工作刺激了一次巨大的学科文化的迸发，并鼓励了MC在各种问题中的应用。学术界一般将Metropolis和Ulam在1949年发表的论文作为Monte Carlo方法诞生的标志。;6.1 Monte Carlo方法的基本思想;Monte Carlo方法的突出特点是，它的解是由试验得到的，而不是计算出来的。其程序结构简单，解题时受问题条件限制的影响较小，具有广泛的适应性。但不能解决精确度要求很高的问题。 蒙特卡洛方法需要大量的随机数，计算量很大，人工计算需耗费大量的时间，利用计算机可大大减少计算时间，增加试验次数以提高??算精度，因此，蒙特卡洛方法的广泛应用与计算机技术的发展是不可分割的。;设所要求的量x是随机变量ξ的数学期望E(ξ)，那么用Monte Carlo方法来近似确定x的方法是对ξ进行N次重复抽样，产生相互独立的ξ值的序列ξl， ξ2，…， ξN，并计算其算术平均值：;例6-1 用统计试验方法求圆周率π 考虑边长为1的正方形，以其一角为圆心和边长为半径，在正方形内画一条1／4圆弧，如图所示。;判断随机点(xi，yi)是否位于圆内的判别式为：;例6-2. 蒲丰氏问题;Buffon投针问题：平面上画很多平行线，间距为a。向此平面投掷长为l（ l＜a）的针, 求此针与任一平行线相交的概率p。; 一些人进行了实验，其结果列于下表 ：;6.2 Monte Carlo方法与高分子科学;Monte Carlo方法在现代高分子科学中的应用主要具有以下特征:;6.3 随机数与伪随机数;;用数学迭代方法产生随机数均存在周期现象，随着迭代过程的不同，其效果也各不相同。一般满足下列要求的产生方法才可被认为是好的： (1)随机性和统计独立性要好； (2)容易在计算机上实现； (3)省时，存贮量小； (4)伪随机数的周期长。;乘同余法;一个简单的例子;上面的例子中，第一个随机数生成器的周期长度是 10，而后两个的周期长度只有它的一半。我们自然希望随机数的周期越长越好，这样得到的分布就更接近于真实的均匀分布。;;Monte Carlo方法的核心就是随机数的使用，因此计算机模拟结果的优劣将强烈地依赖于伪随机数的质量。;;随机变量的抽样： 前面讨论了[0，1]均匀分布的伪随机数的产生，然 而在实际应用中概率分布的形式是多种多样的。;例6-3. 掷骰子点数的抽样;二、连续型分布的抽样： 连续型分布的一般形式如下： 这里f(t)为分布的概率密度函数。 如果分布函数的反函数存在，则连续型分布的一般抽样方法是通过其反函数直接抽样：;在［a,b］上均匀分布的分布函数为：;其抽样方法为：;Monte Carlo方法的估值精度ε与试验次数N的平方根成反比，若精度提高10倍，则试验次数N要增加100倍。收敛速度慢是蒙特卡洛方法的主要缺点。 蒙特卡洛方法的精度估算有概率性质，它并不断言精度一定好于ε ，而只是表明，所算精度以接近于1的概率不超过某一界限，这是蒙特卡洛方法与其它确定性误差计算的根本区别之处。 ;例6-5：中子扩散问题;解：设壁厚为常量3d，中子是垂直进入壁内的，并设每个中子在壁内每次走过d（平均自由程）才与铅原子碰撞，碰撞后以随机的方向弹射，再走过d的距离，和第二个铅原子碰撞，如此继续下去。 最后，有三种情况（1）中子穿透铅壁；（2）被铅壁吸收（假定经过8次碰撞后，没有穿透或返回，则认为被吸收；（3）重新返回反应堆。;现在研究对中子运动的模拟： 假设一个中子在壁内处于与壁内侧距离为x的位置上与铅原子碰撞，然后以θ角的方向弹射，那么θ是[0，2π]之间的均匀分布的随机数。中子经过弹射后，与壁内侧的距离x变为：x + d cos(2 πy) 若（1）x 3d 则中子穿透铅壁 （2）x 0 则中子返回反应堆 （3）0 ≤ x ≤ 3d 则继续下一次碰撞，重复这个过程直至中子脱离铅壁或8次碰撞后被吸收为止。;6.4 Monte Carlo方法在聚合物研究中的应用示例;聚乙烯分子结构的模拟;聚乙烯分子的空间构型在平面上的投影，可以近似地看成如图所示的结构。模拟程序先定义八个方向，并给出每个方向对应的数值，如图。当分子链段方向为3时，其后面分子链的可能取向方向为2、3或4，它们在聚乙烯中是等概率的。至于下面分子链向哪个方向运动，可由计算机产生的随