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2010届钻石卡线性代数专题专项讲义_D_1756512568916968
2010 届钻石卡学员线性代数专题训练讲义
目录
第一讲 矩阵
第二讲 向量与线性方程组
第三讲 特征值、特征向量与二次型
2010 届钻石卡学员线性代数专题训练讲义
第一讲 矩阵
【知识点】
*
1、题设条件与代数余子式 Aij 或 A 有关,则联想到用行列式按行(列)展开定理以及
AA**== A A A E
? nr, ( A) = n
* ?
2、 rA()==??1, rA() n 1
?
?0,rA()? n 1
3、求矩阵秩的方法:
①定义;②矩阵的秩=矩阵的行向量组的秩=矩阵的列向量组的秩(三秩相等);
③利用线性方程组:
齐次线性方程组 AXmn× = 0 , nrA? ( ) = 基础解系中所包含向量的个数;
非齐次线性方程组 AXbmn× = ,通解中线性无关的解向量个数是 nrA? ()+1;
同解方程组有相同的秩。
④性质:特别地
rA()=== rAP ( ) rQArQAPPQ ( ) ( ), 都是可逆矩阵;
rA()()()+≤ B rA + rB;
⑤ ABmn×× ns= 0 包含两个信息:
i) B 的每个列向量都是 AXmn× = 0 的解,但是不一定是全部解;
ii) rA()+≤ rB () n
4、初等变换和初等矩阵之间的转换,初等矩阵的行列式、逆、转置、伴随
5、矩阵的高次幂
① rA()=? 1 A 可分解为列向量与行向量的乘积
????ab11 ab 12 ab 13 a 1
????T
Aababababbb===,, αβ
????21 22 23 2() 1 2 3
????
????ab31 ab 32 ab 33 a 3
nn?1 TT
那么 AlA= ,其中 labababa===++=∑βα αβ 11 2 2 3 3 ii ;
?1 nn?1
②若 AP=Λ P,则 AP=Λ P。如果 Λ = diag(,λ12λλ , ,n )为对角阵,则
- 1 -
2010 届钻石卡学员线性代数专题训练讲义
kkkk
Λ=diag(,,,)λ12λλ n ;
n
n
③ ,则 nknkk? ;
AaEB=+ AaEB=+=()∑ CaBn
k =0
④对角分块矩阵的高次幂。
【典型例题】
30 4 0
2222
【例 1】设行列式 D = ,则第 4 行元素余子式之和的值为__
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