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2010届钻石卡线性代数专题专项讲义_D_1756512568916968.pdf

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2010届钻石卡线性代数专题专项讲义_D_1756512568916968

2010 届钻石卡学员线性代数专题训练讲义 目录 第一讲 矩阵 第二讲 向量与线性方程组 第三讲 特征值、特征向量与二次型 2010 届钻石卡学员线性代数专题训练讲义 第一讲 矩阵 【知识点】 * 1、题设条件与代数余子式 Aij 或 A 有关,则联想到用行列式按行(列)展开定理以及 AA**== A A A E ? nr, ( A) = n * ? 2、 rA()==??1, rA() n 1 ? ?0,rA()? n 1 3、求矩阵秩的方法: ①定义;②矩阵的秩=矩阵的行向量组的秩=矩阵的列向量组的秩(三秩相等); ③利用线性方程组: 齐次线性方程组 AXmn× = 0 , nrA? ( ) = 基础解系中所包含向量的个数; 非齐次线性方程组 AXbmn× = ,通解中线性无关的解向量个数是 nrA? ()+1; 同解方程组有相同的秩。 ④性质:特别地 rA()=== rAP ( ) rQArQAPPQ ( ) ( ), 都是可逆矩阵; rA()()()+≤ B rA + rB; ⑤ ABmn×× ns= 0 包含两个信息: i) B 的每个列向量都是 AXmn× = 0 的解,但是不一定是全部解; ii) rA()+≤ rB () n 4、初等变换和初等矩阵之间的转换,初等矩阵的行列式、逆、转置、伴随 5、矩阵的高次幂 ① rA()=? 1 A 可分解为列向量与行向量的乘积 ????ab11 ab 12 ab 13 a 1 ????T Aababababbb===,, αβ ????21 22 23 2() 1 2 3 ???? ????ab31 ab 32 ab 33 a 3 nn?1 TT 那么 AlA= ,其中 labababa===++=∑βα αβ 11 2 2 3 3 ii ; ?1 nn?1 ②若 AP=Λ P,则 AP=Λ P。如果 Λ = diag(,λ12λλ , ,n )为对角阵,则 - 1 - 2010 届钻石卡学员线性代数专题训练讲义 kkkk Λ=diag(,,,)λ12λλ n ; n n ③ ,则 nknkk? ; AaEB=+ AaEB=+=()∑ CaBn k =0 ④对角分块矩阵的高次幂。 【典型例题】 30 4 0 2222 【例 1】设行列式 D = ,则第 4 行元素余子式之和的值为__

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