a第三章 参数曲面 保长及共形对应.pdf

微分几何 Differential Geometry Chapter 3 参数曲面 保长对应和保角对应 LOGO 曲面到曲面的连续可微映射 ? 设有两个曲面SS12， . 因为曲面上的点 p 与它的参 数(曲纹坐标)是一一对应的，所以从曲面 S1 到曲 面S 的映射? : SS? 可以通过它们的参数表示出 2 12 ?? ??? rr???1 来. 即有映射? : DD12? 使得 21， ???1 或??? rr21??. 3 3 ES? 1 SE2 ? ? ? r1 r2 ? D1 D2 曲面到曲面的连续可微映射 ? 将映射? : SS12? 通过它们的参数用两个函数表示 出来，则有 ?u2? f( u 1 , v 1 ), ? ?v2? g( u 1 , v 1 ). 如果这两个函数都是连续可微的，则称映射? 是连续可微的. 可微性与这两个曲面的参数取法无关. ?? ?设两个曲面SS, 的参数方程分别为r?? r( u , v ), ( u , v ) D ?? 12 1 1 1 ， 和 r2?? r 2( u , v ) ( u , v ) D 2 映射? : SS12? 是连续可 微的，它的参数表示为 ???1 ??? rr21?? 其中 ??:D12? D : ( u , v )? ( u , v ) ? ( u , v ) ? ( u ( u , v ), v ( u , v )) 切映射 ? 对每一点 pS? 1 ，可以通过下面的方法定义一个 线性映射 ???? ??::T S? T S X ? a r ? b r? X ??pp1? ( ) 2? 1?uv? 1 ? 上面定义的映射?? 称为由连续可微映射 ?诱导的 切映射. ?? T TSp 1 ? ()p ? 3 3 ES? 1 SE2 ? ? ? r1 r2 ? D1 D2 ? 切映射也可以用另一种方法来定义：? 将 S1 上的 曲线C 映为S2 上的曲线 C: u ( t )?? u ( u ( t ), v ( t ))， v ( t ) v ( u ( t ), v ( t )) ? t ? 0 定义?? ? X ?为C 在 处的切向量，即 ? dd?? ??(X )??dt |tt ?0? r 2 ( u ( t ), v ( t ))? dt | ? 0? r 2 ( u ( u ( t ), v ( t )), v ( u ( t ), v ( t ))? ?? ?r?u u?(0) ? ? u v ? (0) ? r ? v u ? (0) ? ? v v ? (0) ?