Baidu-线性代数-吧-部分问答-汇总.pdf

题目摘自“百度贴吧”，解答仅供参考 若打印/复印本文档，请选择双面格式或用废纸 行列式 xx10 1x 23中, x 的 3 次方的系数是多少? 23x 2 112x [答] 上述行列式中 x 的 3 次方的系数为 ?1. [分析] 根据行列式的定义, 4 阶行列式写成Σ和式后, 通项为 (1? )τ (,jj12,j3,j4)aa aa 12jj123j34j4 其中j1, j2, j3, j4为 1, 2, 3, 4 的全排列, τ( j1, j2, j3, j4)表示排列j1, j2, j3, j4的逆序数. 注意到通项中的aij取自不同的行和不同的列, 上述 4 阶行列式的展开式中只有 τ( 2134) 1 3 (?1) a12a21a33a44 = (?1) x1xx = ?x 这一项含有x3, 其系数为?1. 矩阵 若 n 阶非零实数矩阵的转置和它的伴随相等, 怎么证明它可逆? [证明] 记A的转置为AT, A的伴随矩阵为A*, A的秩为r(A). (1) 当n = 2 时, 设A = ab, 则A* = d?b, AT = ac. (cd) (?ca) (bd) 故由条件可得 a = d, b = ?c, 而且 a, b 不全为 0. 于是|A| = ad ? bc = a2 + c2 0, 因而A可逆. (2) 当n 2 时, 由条件可知 0 r(A) = r(AT) = r(A*). 又因为r(A) n?1 时, A中各元素aij的余子式Mij = 0, 相应的代数余子式Aij = 0, 因而 A* = 0, 此时 r(A*) = 0, 这与 r(A*) = r(A) 0 矛盾. 若 r(A) = n?1, 则 A*不等于 0, 且 AA* = 0. 可见 0 r(A*) ≤ 1, 因而 r(A*) = 1 n?1 = r(A), 这与 r(A*) = r(A)矛盾. 上述矛盾表明, r(A) 只能等于 n, 即 A 可逆. [证明] 因为A不等于零, 所以AAT不等于 0. 假若A不可逆, 则|A| = 0, 于是AAT = AA* = |A|E = 0, 矛盾! 所以 A 可逆. T [证明] 设A中某个元素aij不等于零, 则 AA 的第i行第i列处的元素为 T 2 2 2 (ai1, ai2, ..., ain)(ai1, ai2, ..., ain) = ai1 + ai2 + ... + ain 0. 又因为AAT = AA* = |A|E, 比较等式两端的第i行第i列处的元素可得 2 2 2 |A| = ai1 + ai2 + ... + ain 0, 所以 A 可逆. 版本号：2010/10/30 z990303@ ; 272365083@ 1 题目摘自“百度贴吧”，解答仅供参考 若打印/复印本文档，请选择双面格式或用废纸 【注 1】由上面的证明可以看出|A| 0. 【注 2】当n 2 时, 由AAT = AA* = |A|E可得 |A|2 = |A||AT| = |AAT| = |AA*| = |A|n, 因而|A|n?2 = 1. 进而由|A| 0 得|A| = 1. 【注 3】当n 2 时, 由上面的|A| = 1 可得AAT = AA* = |A|E = E, 即A为正交矩 阵. 设A为n阶方阵, 对某整数k 1, Ak = 0, 证明