2011年度数学建模集训小题目.doc

-PAGE 814- 2011年数学建模集训小题目 1.求下列积分的数值解 （1） （2），； （3），。 2.已知，，画出时，的图形。 3.画出由椭圆 所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的图形，并计算它的体积。 4.画出绕轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 5. 有一外表面母线为的旋转体（绕轴旋转）工件，画出该工件并计算工件的体积。 6.画出下列曲面的图形 （1）旋转单叶双曲面； （2）旋转双叶双曲面； （3）抛物柱面； （4）椭圆锥面； （5）椭球面； （6）马鞍面； （7）椭圆柱面。 7.画出隐函数的图形。 8.（1）求函数的三阶导数； （2）求向量的一阶向前差分。 9.求解非线性方程组 （1） （2） 10.求函数的极值点，并画出函数的图形。 11．画出函数在上的等值线和相应的梯度方向。 12.曲线是椭圆在第一象限部分，求曲线积分。 13.曲线是圆周的上半部分，求积分。 14.被积曲面为球面在第一卦限部分的外侧，计算曲面积分 15. 是一个二维随机变量的概率密度函数，绘出这一分布的联合分布函数图像和概率密度函数图像。 16.判别二次型的正定性，并求正交变换把二次型化成标准型。 17.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1m的圆钢各一根。已知原料长6.9m，问应如何下料，使用的原材料最省。 18. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％； 项目，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元； 项目，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140％，但规定最大投资额不超过3万元； 项目，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6％。 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？ 19.已知某工厂计划生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种产品，各种产品需要在A，B，C三种设备上加工生产，具体相关数据如表1。试研究下列问题。 （1）如何充分发挥已有设备的能力，使生产盈利最大？ （2）如果为了增加产量，可租用其他厂家设备B，每月可租用60台时，租金为1.8万元，试问租用设备B是否合算？ （3）如果该工厂拟增加生产两种新产品Ⅳ和Ⅴ，其中产品Ⅳ需用A设备12台时，B设备5台时，C设备10台时，单位产品盈利21000元；产品Ⅴ需用A设备4台时，B设备4台时，C设备12台时，单位产品盈利1870元。假如A，B，C三种设备台时不增加，试分别考虑这两种新产品的投产在经济上是否合算？ 表1 生产计划的相关数据 ⅠⅡⅢ设备有效台时/每月A8210300B1058400C21310420单位产品利润/元300020002900 20.某市政府拟投入一笔资金和一定数量的劳动力建设两类公益项目A和B，目的是方便市民的生活，提高城市的生活质量。根据预测投入1万元资金和1百个劳动力·h（即每个劳动力用1h）,分别可以建成1个项目A和两个项目B。如果投入1个劳动力·h需要支付10元，市政府为了用有限的资金和劳动力，并用最快的时间建成这批项目，服务于社会，服务于人民。市政府依次提出下面的四条要求。 （1）至少要建50个项目A； （2）至多建设60个项目B； （3）至少要利用80万元资金和10000个劳动力·h； （4）总投入资金不超过预算120万元。 试为该市政府制定一个满意的项目建设方案。 21.在10个顶点的无向图中，每对顶点之间以概率0.6存在一条权重为上随机整数的边，首先生成该图。然后求解下列问题 （1）求该图的最小生成树。 （2）求顶点到顶点的最短距离及最短路径。 （3）求所有顶点对之间的最短距离。 22. 在10个顶点的有向图中，顶点（）和（）之间存在前向弧的概率为0.8，存在后向弧的概率为0.2，各弧上的容量是上的随机整数，求起点到终点的最大流量。 30.求微分方程组初值问题 式中，，，，。 选用ode45函数计算，其相对误差限为，绝对误差限为，分别画出初值条件为，，，，解的相平面轨迹图。 31.J．H．Engel用第二次世界大战末期美日硫磺岛战役中的美军战地记录，对Lanchester作战模型进行了验证，发现模型结果与实际数据吻合得很好。 硫黄岛位于东京以南660英里的海面上，是日军的重要空军基地。美军在1945年2月开始进攻，激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日方守军21500人全部阵亡或被俘，美方投入兵力73000人，其中第1天登陆54000人，第2天未增援，第3天增援6000人，第4、5天未增援，第6天增援13000人，以后未增援。战斗结束