数值分析非线方性程数值解法.ppt

第二章 非线性方程的数值解法 ;简介（Introduction）;§2.1 对分区间法 (Bisection Method );;误差 分析：; 例1 用二分法求 在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过 解： f(1)=-50 有根区间 中点 f(2)=140 -(1,2)+ f(1.25)0 (1.25,1.5) f(1.375)0 (1.25,1.375) f(1.313)0 (1.313,1.375) f(1.344)0 (1.344,1.375) f(1.360)0 (1.360,1.375) f(1.368)0 (1.360,1.368) ;12;Remark1：求奇数个根;;Remark2:要区别根与奇异点;Remark3:二分发不能用来求重根;f (x) = 0;(1) 如果将原方程化为等价方程;(2) 如果将原方程化为等价方程;收敛性分析; 考虑方程 x = g(x), g(x)?C[a, b], 若 ( I ) 当 x?[a, b] 时， g(x)?[a, b] ( II )在［a,b］上成立不等式：|g(x1)-g(x2)|≤ ? |x1-x2| （1） 则 （1）g在［a,b］上存在惟一不动点x* （2）任取 x0?[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 {xk}（?［a,b】） 收敛于x* 。 （3）k次迭代所得到的近似不动点xk与精确不动点x*有有误差估计式： （2） （3） ;§3 Fixed-Point Iteration;§3 Fixed-Point Iteration;Remark：;例题;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;在这里我们考查在区间[3.5,4]的迭代法的收敛性;局部收敛性定理;举例;例题;将方程化为等价方程：x＝2＋lnx;7 3.146143611 8 3.146177452 9 3.146188209 10 3.146191628 11 3.146192714 12 3.146193060 13 3.146193169 14 3.146193204;另一种迭代格式：;程序演示; ;定理2.2.3;Prove:;(3)由于g在x*处p阶连续可微且g(p)(x*)≠0，知必存在x*的某邻域Ｕ(x*)，当x∈U(x*)时，有g (p) (x)≠0. 由于x*+ ?(xk-x*) ∈ ［x* - ? ，x*+ ?］ ?U(x*)，故 g (p)(x*+ ?(xk-x*)) ≠0，k=0，1,2,…. 可见，当初值x0≠x*时，由(11)式可推出诸xk≠x* 于是由(11)式有 ;Newton Iterative Method;取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:;牛顿法的几何意义;（局部收敛性定理） 设 f (x)?C2[a, b]，若 x* 为 f (x) 在[a, b]上的根,且 f ?(x*) ? 0，则存在 x* 的邻域 使得任取初始值 ，Newton 法产生的序列{ xk } 收敛到 x*，且满足;在x*的附近收敛;思考题1;Answer2: 线性收敛;结论：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。;有根;将f(x*)在 xk 处作Taylo