4、角动量定理和角动量守恒定律满足力学相对性原理.docVIP

4、角动量定理与角动量守恒定律满足力学相对性原理 一、角动量定理具有伽利略变换的不变性（满足力学相对性原理） 角动量对不同的参照系具有不同的值，所以角动量对伽利略变换不具有对称性；但角动量定理对不同的惯性系具有相同的形式，所以角动量定理对伽利略变换具有对称性，为此首先用矢量法给出一般证明-------------- 牛顿第二定律的最初形式为 F=mdv/dt=dP/dt --------------------- (1) 用质点在0-xyz坐标系的坐标矢量r从左边叉乘式（1）的两边就有 r×F= r×dP/dt，所以 r×dP/dt= d(r×P)/ dt= dL/dt，其中M= r×F,L= r×P. 上式变为M= dL/dt (2) 由于(1)满足力学相对性原理，我们有F= dP′/dt （3） 用质点在0′-x′y′z′坐标系的坐标矢量r′从左边叉乘式（3）的两边就有 r′×F= r′×dP′/dt，所以r′×dP′/dt= d(r′×P′)/ dt= dL′/dt， 上式变为M′= dL′/dt， （4） 其中M′= r′×F,L′= r′×P′. （2）和（4）式对比，证明质点角动量定理满足力学相对性原理.文献[1]也给出了证明. 下面用实例验证角动量定理服从力学相对性原理 例1：弹簧振子、自由落体和斜面上自由下滑的滑块 对于弹簧振子，角动量守恒： x1?x?ut，v1?v?u，a1?a?0?a，ma1?ma，f1?f． M?x×f??(x?f sin π)e?0， 所以 0?M?x×f???， 所以在地面上观察，角动量l?x×mv守恒，角动量定理成立. 据伽利略变换知： M1? x1×f1?(x?ut)×f? x×f?ut×f?? 0?[ut?f sin (nπ)]eu?0?0?0 (其中n?0，1)， 所以在小车上观察，角动量l1?x1×mv1守恒，质点所受的合力矩为0，角动量定理成立，角动量定理满足伽利略变换. 类似分析自由落体运动和从斜面自由下滑的滑块，由于位移和合外力共线，质点所受的合力矩为0，角动量守恒，角动量定理成立，角动量定理满足伽利略变换. 例2：匀速圆周运动 ○ y 如下图，有一质量为m的小球（视为质点），在轻绳的牵制下，在光滑的地面上绕O点做匀速（速率为v）圆周运动，如果忽略地面和空气摩擦阻力， F u ? θ x 小 车 光滑水平地面 o R 图1 匀速圆动物体角动量??理成立问题 问：小球在地面系和沿x 轴匀速运动的小车（设小车的速度为u）坐标系(O1-x1y1),角动量定理是否都成立？ 解析：地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系. 1、在地面系——设初相为0，v=ωR, x=Rcosωt y= R sinωt x′=-Rωsinωt y′= Rωcosωt fx=m x′′= -mRω2cosωt fy=m y′′= -mRω2sinωt =0，质点对圆心的角动量大小为mR2ω，方向不变，角动量定理成立. 2、小车系 将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程： x1=x-ut=Rcosωt-ut y1= y=R sinωt x′1= x′-u=-Rωsinωt-u y′1= y′= Rωcosωt p=mv=(-mRωsinωt-mu, mRωcosωt,0) r=( Rcosωt-ut, R sinωt,0) fx=m x′′= -mRω2cosωt fy=m y′′= -mRω2sinωt L1=r1p1=(0,0, mR2ω+umR sinωt-utmRωcosωt) L1′=(0,0, utmRω2sinωt) M1= r1f=(0,0, utmRω2sinωt) 角动量定理成立，角动量定理满足伽利略变换. 二、经典的角动量守恒定律不满足力学相对性原理 角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，是反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律.尽管角动量守恒定律可以从牛顿定律中推导出来，但是它不受牛顿定律适用范围的限制，不论是研究物体的低速运动还是高速运动，不论是宏观领域的物理现象还是微观领域的物理过程，角动量守恒定律已被大量实验证明是正确的，无一相悖.角动量守恒定律是 HYPERLINK /wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E7%95%8C \o 自然界 自然界普遍存在的 HYPERLINK /w/index.