5年级奥数寒假作业2011年(全部).docVIP

学而思2011五年级数学假期作业 PAGE  PAGE 17 第十天： 1．体育课上，30名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，30，然后，老师让所报的数是2的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是3的倍数的同学向后转，最后让所报的数是5的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？ 解：此题是容斥原理（包含排除、重叠问题）与奇偶分析的综合题。低年级的孩子可以用枚举的方法（容斥原理没听课，所以需要补上）： 2的倍数15个： 2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30 3的倍数10个： 3、6、9、12、 15、 18、 21、 24、 27、 30 5的倍数6个： 5、10、15、20、25、30 既是2又是3的倍数5个： 6、12、18、24、30 既是2又是5的倍数3个： 10、20、30 既是3又是5的倍数2个： 15、30 是2、3、5的倍数1个： 30 想要最后面向老师，那么符合这样条件的学生，要么转动了0次，要么转动了2次。 结合上面的分析，应该很好理解了。 最后的结果为： 30 -（15 + 10 + 6 - 5 - 3 - 2 +1）+（5 + 3 + 2 - 3×1）＝ 15人 而使用容斥原理可直接用上述式子得出。 2．对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？ 解：231是11的倍数，操作只有两个，一个是加121，而121也是11的倍数，另一个操作是除以2（一个是11倍数的偶数的一半，仍然是11的倍数），这两个操作都无法改变得数仍然是11倍数的这一性质，即在运算过程中出现的数一定都是11的倍数，因为100不是11的倍数，所以在题目中定义的运算里是不可能出现100的。 如果将以上题目的231改变为任意一个11的倍数，包括0（要先加121，即121）和11本身，那么得数中肯定不会有100，这个结论是可靠的。但如果将231改变为任意一个不是11的倍数的数，比如1、2、3、343甚至更大，只要不是11的倍数，就会出现100，比如1，会在第105步得到100；2会在第106步得到100；而34只用了16步： 第 1 步： 34 ÷ 2 = 17 第 2 步： 17 + 121 = 138 第 3 步： 138 ÷ 2 = 69 第 4 步： 69 + 121 = 190 第 5 步： 190 ÷ 2 = 95 第 6 步： 95 + 121 = 216 第 7 步： 216 ÷ 2 = 108 第 8 步： 108 ÷ 2 = 54 第 9 步： 54 ÷ 2 = 27 第 10 步： 27 + 121 = 148 第 11 步： 148 ÷ 2 = 74 第 12 步： 74 ÷ 2 = 37 第 13 步： 37 + 121 = 158 第 14 步： 158 ÷ 2 = 79 第 15 步： 79 + 121 = 200 第 16 步： 200 ÷ 2 = 100 那么我们能不能就说只要不是11的倍数，应用上述规则进行计算，结果中就一定会出现100呢？尽管做了可能的很多试验，这个结论是正确的，但还必须经过数学证明才能下此结论。 3．有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，这类数中最大的自然数是几？为什么？ 解：按照题意，要使得数最大，那么前面的数字一定要最小，这样得到的结果的位数就可能大，最后的得数就大。 因为第一位只能是1，那么第二位就是0，有了这两位，依照题目给出的规则就可以逐步计算出所有的位数，直到最后两位数字之和大于9。 最后可得到所求的自然数 4. （多次相遇问题）甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙二人的速度分别是每小时30千米和20千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地之间的距离是多少千米？ 解：如图所示，在A、B间，设甲、乙第一次相遇M点，第二次相遇N点，并设A、N两点间的距离为a，M、B两点间的距离为b，根据题意有MN两点间的距离为20千米。 a 20 b A N M B 第一次相遇时，甲走了（a+20）千米，乙走了b千米，相遇时所用时间相同，则有： （ a + 20 ）÷ 30 = b ÷ 20 ① 自第一次相遇点（即M点）到第二次相遇（即在N点）时，甲又走了b+b+20，乙又走了20+a+a，可以看出甲和乙共走了A、B间的2倍的路程，并且，根据题意