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2013级高数(上)试题和答案
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南昌大学 2013~20014学年第一学期期末考试试卷
填空题(每空 3 分,共 15 分)
1. 函数 的定义域是 。
2. 设函数 则 。
3. 函数的单调增加区间是 。
4. _________。
5. 。
单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 当时,曲线 ( )。
(A)有且仅有铅直渐近线.
(B)有且仅有水平渐近线.
(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线.
(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线.
2. 当时,是 的( )。
(A) 高阶无穷小. (B) 低阶无穷小.
(C) 等价无穷小. (D) 同阶但非等价无穷小.
3. 曲线在点处的切线方程为( )
(A) . (B) .
(C) . (D) .
4. 曲线的上凸区间是( )。
(A) . (B) .
(C) . (D) 没有凸区间.
5. ( )。
(A) . (B) .
(C) . (D) .
三、计算题(一)(每小题 8分,共24分)
1. 。
2. 。
3. 设函数是由方程所确定的隐函数,
求。
四、计算题(二)(每小题 8分,共 16分)
1. 设 求 。
2. 求不定积分。
五、求下列各题(每小题 8分,共 16分)
1. 计算定积分。
2. 试问为何值时,函数
在处取得极值?它是极大值还是极小值?并求此极值。
六、解答题与证明题(第1小题 8分,第2小题 6分,共 14分)
1.确定常数和,使函数 处处可导。
2. 设在区间上可微,且满足条件:
,
试证: 存在,使得。
南昌大学 2013~2014学年第一学期期末考试试卷及答案
填空题(每空 3 分,共 15 分)
1. 函数 的定义域
是
2. 设函数 则
3. 函数的单调增加区间是
4.
5.
单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 当时,曲线 ( B )。
(A)有且仅有铅直渐近线.
(B)有且仅有水平渐近线.
(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线.
(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线.
2. 当时,是 的( A )。
(A) 高阶无穷小. (B) 低阶无穷小.
(C) 等价无穷小. (D) 同阶但非等价无穷小.
3. 曲线在点处的切线方程为( C )
(A) . (B) .
(C) . (D) .
4. 曲线???上凸区间是( A )。
(A) . (B) .
(C) . (D) 没有凸区间.
5. ( D )。
(A) . (B) .
(C) . (D) .
三、计算题(一)(每小题 8分,共24分)
1. 。
解: 原式
2. 。
解: 原式
3. 设函数是由方程所确定的隐函数,
求。
解: 方程两边对求导,有
由原方程知 时,,代入上式,得
四、计算题(二)(每小题 8分,共 16分)
1. 设 求 。
解: .
.
.
.
2. 求不定积分。
解: 原式
五、求下列各题(每小题 8分,共 16分)
1. 计算定积分。
解: 令,则 ,于是
原式
2. 试问为何值时,函数
在处取得极值?它是极大值还是极小值?并求此极值。
解: ,得
又
时,取极大值,
六、解答题与证明题(第1小题 8分,第2小题 6分,共 14分)
1.确定常数和,使函数 处处可导。
解: 当时,显然可导。
当时,因在处连续,由
,得
由,
得
故当,时,处处可导。
2. 设在区间上可微,且满足条件:
,
试证: 存在,使得。
证明:设,
由积分中值定理知,,使
由已知条件,有
又由于,且在上连续,在上可导,
故由罗尔定理知:,使,
即
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