2013高3年数学理科(应用创新)2.doc

PAGE  PAGE 9 2014届高三应用、创新题 应用题 1．（数列型）某企业2012年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年（今年为第一年）的利润为万元（为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式； （Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 解：（Ⅰ）依题设，=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2； =500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100. （Ⅱ）－=(500n－－100) －(490n－10n2) =10n2+10n－－100=10[n(n+1) － －10]. 因为函数在（0，+∞）上为增函数， 当1≤n≤3时，n(n+1) － －10≤12－－100； 当n≥4时，n(n+1) － －10≥20－－100. ∴仅当n≥4时，. 答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 2．（函数型）某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年总收入为50万元，设使用年后数控机床的盈利额为万元． （Ⅰ）写出与之间的函数关系式； （Ⅱ）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值） （ = 3 \* ROMAN III）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（1）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；（2）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床． 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由． 解：（I）依题得： （II）解不等式 （III）（1） 当且仅当时，即=7时等号成立. 到第7年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元. （2） 故到第10年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元 因为盈利额达到的最大值相同，而方案（1）所用的时间较短，故方案（1）比较合理 3.（分段函数型）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间满足关系：（其中为小于6的正常数）（注：次品率次品数／生产量）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量. （Ⅰ）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额(万元）表示为日产量（万件）的函数； （Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解：（Ⅰ）当时，， 当时，， 综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为： （Ⅱ）由（1）知，当时，每天的盈利额为0 当时，，当且仅当时取等号 所以当时，，此时 当时，由 ∴在上递增，，此时 综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润； 若，则当日产量为万件时，可获得最大利润． 4.（解析几何型）在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形的三边、、由长6分米的材料弯折而成,边的长为分米()；曲线拟从以下两种曲线中选择一种:曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为),此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点到边的距离为. (Ⅰ)试分别求出函数、的表达式； (Ⅱ)要使得点到边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少? 解:(Ⅰ)对于曲线,因为曲线的解析式为,所以点D的坐标为 ，所以点到的距离为,而, 则 对于曲线,因为抛物线的方程为,即,所以点D的坐标为 所以点到的距离为,而,所以 (Ⅱ)因为,所以在上单调递减,所以当时,取得最大值为 又,而,所以当时,取得最大值为 因为,所以, 故选用曲线,当时,点到边的距离最大,最大值为分米 5．（均值不等式型）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。 （Ⅰ）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值； (Ⅱ)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为