2013高中数学高考题详细分类考点36直线、平面垂直的判定和其性质.doc

考点36 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则　(　　) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l 【解析】选D 因为m,n为异面直线,所以过空间内一点P,作,则,即垂直于与确定的平面,又平面,平面,所以平面,平面,所以平面既垂直平面,又垂直平面,所以与相交,且交线垂直于平面,故交线平行于,选D. 2.(2013·浙江高考文科·T4)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面　(　　) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥β C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β 【解题指南】根据线、面平行、垂直的定义与性质判断. 【解析】选C. A选项中m与n还有可能相交或异面;B选项中α与β还有可能相交;D选项中m与β还有可能平行或m?β. 3. （2013·山东高考理科·Ｔ4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( )?　A. B. C. D. 【解题指南】本题考查直线与平面所成的角，注意线面角的做法：垂-连-证-求. 【解析】选 B. 取正三角形ABC的中心，连结,则是PA与平面ABC所成的角. 因为底面边长为，所以,.三棱柱的体积为,解得，即,所以，即. 4. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ11）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ10）相同 已知正四棱柱的正弦值等于（ ） A. B. C. D. 【解题指南】利用体积相等法求出三棱锥的高为即可确定与平面所成角的正弦值. 【解析】选A.如图，设，则，三棱锥的高为，与平面所成的角为. 因为，即，解得.所以. 5.(2013·浙江高考理科·T10)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则　(　　) A.平面α与平面β垂直 B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45° C.平面α与平面β平行 D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 【解题指南】充分理解题意,依据立体几何中的面面之间的位置关系判断. 【解析】选A.由于P是空间任意一点,不妨设P∈α,如图所示, 则Q1=fβ[fα(P)]=fβ(P),Q2=fα[fβ(P)]=fα(Q1),又PQ1=PQ2,显然B,C,D不满足,故选A. 二、解答题 6. （2013·重庆高考文科·Ｔ19）如图，四棱锥中，⊥底面，，， ． （Ⅰ）求证：⊥平面； （Ⅱ）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积． 【解题指南】直接利用线面垂直的判定定理证明⊥平面,通过转化可求解三棱锥的体积. 【解析】（Ⅰ）证明:因,即为等腰三角形,又,故.因为⊥底面，所以.从而与平面内两条相交直线都垂直,所以⊥平面. （Ⅱ）三棱锥的底面的面积 由⊥底面，得 由,得三棱锥的高为,故 所以 7.（2013·广东高考文科·Ｔ18）如图①，在边长为1的等边中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图②所示的三棱锥，其中． ① ② (1) 证明：//平面； (2) 证明：平面； (3) 当时，求三棱锥的体积． 【解题指南】本题以折叠问题为背景，考查线面平行与垂直的证明及空间几何体体积的求法，对于立体几何中的折叠问题要注意折叠前后变与不变量. 【解析】（1）在等边中，，所以, 在折叠后的三棱锥中也成立，所以. 因为平面，平面，所以平面； （2）在等边中，是的中点，所以 = 1 \* GB3 ①，. 因为在三棱锥中，，所以 = 2 \* GB3 ② 因为，所以平面； （3）由（1）可知，结合（2）可得平面. . 8. （2013·辽宁高考文科·Ｔ18）如图， 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点. 求证：平面平面; 设为的中点, 为的重心,求证: ∥平面. 【解题指南】利用条件证明线线垂直，进而证明线面垂直；借助线线平行去证明线面平行,再由面面平行的性质得到线面平行。 【证明】由是圆的直径，得； 由垂直于圆所在的平面，得平面;又平面，得； 又 所以 连接并延长交于, 连接 由为的重心,知为的中点， 由为的中点,则∥, 又因为平面,平面 所以∥平面 又由为的中点,则