ch4多维随机变量和其分布.docVIP

第4章 多维随机变量及其分布 4.1多维随机变量及其分布 实际中，某些试验结果需要同时用两个或者两个以上的随机变量来描述． 例：(1) 研究某地区儿童的发育情况，需测量身高与体重，写成 ； ．X(e) (2) 用导弹打飞机，爆炸点 ． e． 二维随机变量：试验E，样本空间．， X ．Y(e) 为定义于上的两个随机变量， Y 称为二维随机变量（或向量）． 本章研究的整体性质． 一．分布函数 分布函数：是随机向量，称 为的分布函数，或称 X与Y的联合分布函数． y 　　 y y2 (x1, y2) (x2, y2) y (x, y) (x1, y1) (x2, y1) O　　 x　 x O x 　 的基本性质： (1) 关于x、关于y 是单调非减函数； (2) ，，； (3)关于x、关于y 是右连续函数：； (4) ， 有 ． (说明之) 二．二维离散随机变量 只取有限多对或可列多对值 ，．记， 满足：(非负性)； (规范性) ．称为的联合分布律． 列表： Y X     Y X1 3 0 1 2 30 0 0 0 例1. 将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现H的次数，以Y表示在三次中出现H次数与T次数之差的绝对值． 求 的分布律． 解：X取值 ； Y取值 ． ． 由概率乘法公式得： ； ； ； ； ； ； ； ． 三．二维连续随机变量 ，分布函数，存在可积函数，满足， 称为连续随机变量．　——概率密度函数． 概率密度函数的性质： ．(非负性)；　　　　　　．(规范性) ； ．若为平面区域，则 ； ．若在处连续， 则 ． 几何意义：曲面 ，． z D O y ???　　　　　　　　　　　　　　　　 x 例2. 设二维随机变量的概率密度函数为 求： (1) 分布函数； (2) ； (3) . 解：(1) (2) 将看作平面上随机点的坐标，即有 ，其中为平面上区域． ． 1 1 O x y O y x 的非零区域 的非零区域 (3) ， ． 四．两种常见的二维连续随机变量 1. 二维均匀分布 定义：设是平面区域，面积为， 具有概率密度 ． 称服从区域上的二维均匀分布． 容易验证，落在中某一子区域内的概率与的面积成正比，而与的位置和形状无关. 2. 二维正态分布 定义：设二维随机变量具有概率密度函数 ， 为常数， ， 称服从参数为 的二维正态分布， 记 ． 在三维空间中的图形就像是一个放置在平面上的草帽，其中心在 处． 二维正态分布的概率密度函数图形 五． n 维随机变量 试验E，，，为定义于上的n个随机变量，称 为n维随机变(向)量．