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第一章 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数与极限 第一章 二、映射 三、函数 一、集合 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 一、 集合 1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作  . 注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ; 表示 M 中排除 0 与负数的集 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示法： (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 (2) 描述法： x 所具有的特征 例: 整数集合 或 有理数集 p 与 q 互质 实数集合 x 为有理数或无理数 开区间 闭区间 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无限区间 点的  邻域 其中, a 称为邻域中心 ,  称为邻域半径 . 半开区间 去心  邻域 左  邻域 : 右  邻域 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 则称 A 若 且 则称 A 与 B 相等, 例如 , 显然有下列关系 : , ,  若 设有集合 记作 记作 必有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 交集 且 差集 且 定义下列运算: 余集 直积 特例: 为平面上的全体点集 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 二、 映射 1. 映射的概念 某校学生的集合 学号的集合 某班学生的集合 某教室座位 的集合 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1. 引例2. 引例3. (点集) (点集) 向 y 轴投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则 称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 称为 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对映射 若 , 则称 f 为满射; 若 有 则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. 引例2, 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例2 引例2 例1. 海伦公式 例2. 如图所示, 对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射) 例3. 如图所示, 则有 (满射) (满射) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 X (数集 或点集 ) 说明: 在不同数学分支中有不同的惯用 X (≠  ) Y (数集) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f 称为X 上的泛函 X (≠  ) X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的为函数 映射又称为算子. 名称. 例如, 2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射 为单射, 则存在一新映射 使 习惯上 , 的逆映射记成 例如, 映射 其逆映射为 其中 称此映射 为 f 的逆映射 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 复合映射 机动 目录 上页 下页 返回 结束 手电筒 D 引例. 复合映射 定义. 则当 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复 设有映射链 记作 合映射 , 时, 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形. 定义域 三、函数 1. 函数的概念 定义4. 设数集 则称映射 为定义在 D 上的函数 , 记为 f ( D ) 称为值域 函数图形: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量 因变量 (对应规则) (值域) (定义域) 例如, 反正弦主值 定义域 对应规律的表示方