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第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 二、 极限的四则运算法则 则有 定理 3 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1） （2） （3） 证: 因 则有 (其中 为无穷小) 于是 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 说明: 此结论 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 推论: 若 且 则 ( P46 定理 5 ) 利用保号性定理证明 . 提示: 令 （1） 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明:此结论可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . ( C 为常数 ) 推论 2 . ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （2） 定理4 . 若 则有 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设有分式函数 其中 都是 多项式 , 试证: 证: 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 ! 例4. 消去零因子法 例5 . 求 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6 . 求下列函数的极限 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 原式 3 . 求 一般有如下结果： 为非负常数 ) ( 如P47 例5 ) ( 如P47 例6 ) ( 如P47 例7 ) 练习：求下列函数的极限 （分子有理化） 提示: 分子分母同除以 定理5. 设 且 x 满足 时, 又 则有 说明: 若定理中 则类似可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、 复合函数的极限运算法则 例7. 求 解: 令 已知 ( 见 P47 例3 ) ∴ 原式 = ( 见 P33 例5 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 分母不为 0 ) 时, 对 型 , 约去公因子 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习 1. 是否存在 ? 为什么 ? 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 , 与已知条件 矛盾. 问 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习2 . 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习3. 求 解 原式 = 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 P49 1、 (1)(3)（5)（7）（9）（11），（13） 　　2、 （1），（3） 作业 例11. 试确定常数 a 使 解 : 令 则 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此 解: 利用前一极限式可令 再利用后一极限式 , 得 可见 是多项式 , 且 求 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12