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第二节 三、复合函数求导法则 二、反函数的求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章 思路: ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等函数求导公式 初等函数求导问题 本节内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则 定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 故结论成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 证: 设 则有 故结论成立. 推论: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 ) 例1. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论: (3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 ) 例2. 求证 证: 类似可证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处取增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 则 类似可求得 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 设 则 特别当a = e时, 小结: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三. 复合函数求导法则 引例 解：应用函数乘积的求导法则有 这是因为 复合而成的复合函数。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导, 定理3. 在点 可导 复合函数 且 在点 x 可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例1. 求下列导数: 解: (1) (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 例2. 设 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 解： 设 解： 设 例4 已知f (x)可导，求下列函数的导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P95) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则 ( C为常数 ) 3. 复合函数求导法则 4. 初等函数导数仍为初等函数 由定义证 , 说明: 最基本的公式 其它公式 用求导法则推出. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P 97 2 (8) , (10) ; 3 (2) ; 6 （2）（4）(6) (8)（10） 8 （2） (4) , (6) , (8) , (10) ; 10 11 （1） (3) , （5）(7) , (9) 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 练习1. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习2. 求 解: 关键: 搞清复合函数结构，由外向内逐层求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解： 4. 设 解： 3. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 设 求 解: 方法1 利用导数定义. 方法2 利用求导公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6 解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点处的可导性与各部分区间的可导性 分别讨论。 3）对于分段函数的求导，应将函数在分段 内容小结 求导公式及求导法则 (见 P94) 注意: 1) 2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 . 思考. 设 其中 在 因 故 正确解法: 时, 下列做法是否正确? 在求 处连续, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 设 解： 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求下列函数的导数 解: (1)