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二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极值与 最大值最小值 第三章 一、函数的极值及其求法 定义: 在其中当 时, (1) (2) 极大点与极小点统称为极值点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 1、 函数的极值是函数的局部性质. 例如 (P147例4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1(必要条件) 例如, 说明：1. 例如, 定理 2 (极值第一判别法) 且在某去心邻域 内可导, (自证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 3) 列表判别 是极大值点， 其极大值为 是极小值点， 其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 证: (1) 存在 由第一判别法知 (2) 类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 解 注意: 例3. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 故需用第一判别法判别. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 试问 为何值时, 还是极小. 解: 由题意应有 又 取得极大值为 练习. 求出该极值, 并指出它是极大 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (2) 最大值 最小值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别: 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 . (小) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 解 计算 比较得 例5. 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解: 显然 且 故函数在 取最小值 0 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( k 为某一常数 ) 例6. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 D 点应如何选取? 解: 设 则 令 得 又 极小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 . 总运费 物从B 运到工厂C 的运费最省, 从而为最小点 , 问 Km , 公路, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 定理3 目录 上页 下页 返回 结束 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 . 思考与练习 2. 连续函数的最值 1. 设 则在点 a 处( ). B 提示: 利用极限的保号性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 是方程 的一个解, (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示: A 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P162 1(1)(3) (5); 4(2); 5 ;8; 10 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 定理4 (判别法的推广) 则: 数 , 且 故结论正确 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 例3中 2. 设 (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . D 提示: 利用极限的保号性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5：用极值、最值证明不等式 证：令 令 得驻点 极大值为0。 则 F ( 0 ) = 0 是函数的一个最大值， 当x －1 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束 试求 解: 例6. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求最大值为 清楚(视角