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第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为由方程F(x, y)确定的隐函数 . 则称此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 两边对 x 求导 隐函数求导方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设由 确定的隐函数为 代入方程得到： 左右两边都看成关于变量x的函数 即 例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入(*)求解。 例2. 设 由方程 确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 ② 当 时, 故由 ① 得 再代入 ② 得 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ① 例3. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对数求导法 1) 对幂指函数 可用对数求导法求导 : 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 x 求导 两边取对数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 二、由参数方程确定的函数的导数 参数方程的一般形式为： 例如： 表示抛物线 表示半径为 a 的圆： 又如： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果 存在逆映射 代入 得到： 把此函数称为由参数方程（1）确定的函数。 （1） 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 参数方程求导 求在 处的切线方程。 解：已知点坐标： 切线方程： 例1 已知摆线方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 垂直分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设  为切线倾角, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 求 解： 方程组两边同时对 t 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习 所表示的函数 的 二阶导数. 由 都存在,则可设 从而得参数方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求参数方程 则 求 解： 例3 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 例4. 设 , 且 求 已知 解: 练习: P112 题8(1) 解: 注意 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、相关变化率 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , 则 两边对 t 求导 已知 h = 500m 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P112 3 (1) (3) ; 4 (1)(3) ; 6 ; 7 (1) ; 8 (2