2015北京东城高3上期末数学理(含解析).docx

北京市东城区2014—2015学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类）2015．1 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（ ）． A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设，则“”是“”的（ ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设等差数列的前项和为，若，则等于（ ）． A． B． C． D． 5．当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）． A． B． C． D． 6．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别为，，，，画该四面体三视图中的正视图中，以平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）． 8．已知圆，直线，点在直线上，若存在圆上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．若抛物线的焦点到其准线的距离为，则该抛物线的方程为 ．[来源:Zxxk．Com] 10．若实数满足 则的最大值为_______． 11．在△中，，，，则 ；△的面积为 _______． 12．已知向量，不共线，若（）∥（），则实数_______． 13．已知函数是上的奇函数，且为偶函数．若， 则 ． 14．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形, ，，分别为线段上的点．若，则三棱锥 体积的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本题满分13分） 已知函数部分图象如图所示． （Ⅰ）求的最小正周期及解析式； （Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值． 16．（本题满分13分） 已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为等比数列，且． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． 17．（本题满分14分） 如图，平面，，，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值． 18．（本题满分14分） 已知函数，，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求的单调区间； （Ⅲ）若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19．（本题满分13分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，求证：为定值． 20．（本题满分13分） 对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且．继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束． （Ⅰ）试问数列经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由； （Ⅱ）设数列，对数列进行“变换”，得到数列，若数列的各项之和为，求，的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由． 北京市东城区2014—2015学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学答案（理工类）2015．1 选择题 题号12345678答案AABCDDAB 二、填空题 题号91011121314答案； 三、解答题 15．解： （Ⅰ）．由图可知，，．所以． 当时，，可得． 因为，所以，所以的解析式为． （Ⅱ）．由（Ⅰ）知．将函数的图象向右平移个单位长度得到 的图象，所以，因为，所以． 当，即时，有最大值为1． 当，即时，有最小值为． 16．解： （Ⅰ）．设等差数列的公差为．由，得，解得． 所以，所以数列的通项公式为， 由于是公比为的等比数列，且，所以． 从而，． （Ⅱ）．由（Ⅰ）知，数列的前项和为， 数列的前项和为，所以数列的前项和． 17．解： （Ⅰ）．因为平面，平面，所以． 因为，．所以平面． 又平面，所以． 因为，为的中点，所以， 又，所以平面． （Ⅱ）．在平面内，做，则两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，，，因此有，，． 设平面的法向量为，则： ，令，得．故，由（Ⅰ）知为平面的法向量，设的夹角为，则，因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为． （Ⅲ）