Newton-Leibniz公式.pdf

第九章 定积分 §2 Newton-Leibniz 公式 3. (本题需要积分的区间可加性, 放§2 不妥当) 由定理 9.1 后的注, Newton-Leibniz 公式 b 可改述为: 若函数 f 在[a, b]上可积, F 在[a, b]上连续, 在(a, b)内可微且 F = f , 则 f = F (b) òa - F (a) . 设在 c1 , c2 , … , cn 处不满足 F (x) = f (x). 记 a, b 为 c 0 , cn+1. 在[ck , ck+1]上用上述公 ck +1 式, 有 f = F (c k+1) - F (c k) (k = 0, 1, … , n ), 相加得证. òck §3 可积条件 2. ε 0$ T : S (T ) - s (T ) ε . 设 T = T∪{α, β}, 则 s (T )≤s (T )≤S (T )≤S (T ), S (T ) - s (T ) ε . 设 T = T∩[α , β ], 则 T是[α , β ]的分割, 且 S (T ) - s (T ) ε . 3. 法一. (按照本书体系, 本题只能用可积充要条件证明 g 的可积性, 用定义证明积分等 式) 设在一个点 c 处 f (c)≠g (c), c∈(a, b) (c = a 或 b 时的证明类似). ε 0 取 I = (c ?ε , c +ε ) ì (a, b). 在[a, c ?ε ]和[c + ε ]上 f 可积, 存在[a, c ?ε ]的分割 T 1 和[c +ε , b]的分割 T 2 使 Sf (T 1) - sf (T 1) ε , Sf (T 2) - sf (T 2) ε . T = T 1 ∪T 2 是[a, b]的分割, 且 Sg (T ) - sg (T ) = Sf (T 1) - sf (T 1) + Sf (T 2) - sf (T 2) + ?I × 2ε (4M + 2)ε , 其中?I 是 g 在 I 上的振幅, M 是 g 在[a, b]上的界. 因此 g 可积. 又, 若以σ f , σ g 表示f, g 关于分割T的积分和(取相同的ξ k ), 则| σ f ? σ g | = | f (ξ ) b b - g (ξ ) | 2ε ￡ | f (c) - g (c)| || T ||, 令|| T ||→0 得 lim (σ f ? σ g) = 0, 由limσ f = f 得 limσ g = f ,