4位黑洞数的证明和相关问题剖析.doc

4位黑洞数的证明及相关问题剖析 邬金华 自原苏联人卡普耶卡提出4位数反复重排求差会得到黑洞数6174至今，这种看似简单的数字游戏隐含的数学道理已逐渐引起越来越多的人的兴趣，并很快被推演到更多位的情形。网上有消息称，该问题已被“印度学者”和台湾中学生李光宇各自解决，大陆人王景之稍后也在网上公布了他的研究结论，但是，在可以有哪些信誉好的足球投注网站到的材料中却一直没有见到有关的严格的数学证明，而且，台湾李光宇和大陆王景之的结论也不完全一致。为弥补这些缺憾，这里先介绍几种对经典4位黑洞数的证明方法和相关结论，随后再陆续公布对其它位数的研究结果。 一、操作过程中的差数 在反复重排求差的演算过程中，除首次演算时的被减数是某个任意4位数（但4个数字不全相同）以外，以后操作的被减数都是上一次差数的重排，就是说，以后的操作都是在差数基础上进行的，而且黑洞数本身也是一个差数，只是较为特殊罢了。为了揭示一般差数的特点，这里将重排求差时的最大数用大写字母ABCD的形式写出（最小数随之而定），差数用小写字母mnpk的形式写出。按最大数中间二位数字是否相同，可将最大数和相应得到的差数分为两种类型。 类型1：最大数中间二位数字不同，即A≥B＞C≥D，称无核类型（0核类型），或普通类型。 A B C D - D C B A m n p k 将相减操作写成竖式，可以得到被减数、减数和差数各构成数字之间的基本关系式： m=A-D m+k=10 n=B-C-1 n+p=8 p=C-B+9 mn k=D-A+10 很明显，所有差数的共同特点是：首尾二数字之和必为10，中间二数字之和必为8，首位数大于二位数。这样，能作为差数出现的数并不多，这里将它们从小到大全部罗列如下，共1+2+3+……+9=45个： 1089 2085 2178 3087 3177 3267 4086 4176 4266 4356 5085 5175 5265 5355 5445 6084 6174 6264 6354 6444 6534 7083 7173 7263 7353 7443 7533 7623 8082 8172 8262 8352 8442 8532 8622 8712 9081 9171 9261 9351 9441 9531 9621 9711 9801 类型2：最大数中间二位数字相同，即A≥B=C≥D（不能同时都取等号），称有核类型。 同样写成竖式，可得被减数、减数和差数各构成数字之间的基本关系式为： A B B D - D B B A m 9 9 k m=A-D-1 m9 k=D-A+10 m+k=9 此时差数的首尾二数字之和必为9，但首位数字不能为9，中间二数字永远是99。这类差数只有9个，它们是 0999 1998 2997 3996 4995 5994 6993 7992 8991 综合两种类型，在4位数中，能作为差数出现的数共有54个，他们就是研究4位黑洞数的根本出发点。 二、黑洞数6174的证明 按黑洞数的定义，如果将黑洞数本身也重排求差，那么差数的构成数字就应该与黑洞数的构成数字相同，这样，就可以有3种不同的方法证明黑洞数6174。 证明1——顺推 对上述54个差数逐一重排求差，如果差数的构成数字与被减数的构成数字相同（排列次序可以不同），那么该差数就一定是黑洞数；如果不存在这样的差数，就没有单一的黑洞数。实际上，在54个差数中，大多数差数都可以找到与自己构成数字完全相同的“同伴”，如1089、9081、9801等等，它们都是交换了m、k或n、p位置的结果，它们重排求差时的最大数都是一样的，故可将它们归并为一组，称等效差数数组，简称等效数组。因为有限定条件（mn或m9），同一数组中包含的差数的个数可以是1个、2个、3个……，最多可有比位数少1个，这里不妨将他们分别称为一元数组、二元数组、三元数组等等。这里是4位数，最多可包含3个差数，故可归并出一元数组、二元数组和三元数组，共29组。这样，只需针对这29组差数重排求差就可以证明有无黑洞数了。结果，只有数组4176-6174重排求差得6174，其构成数字与最大数7641相同，所以6174就是黑洞数，而且是唯一的。 这里介绍一个求差小窍门，可以很快得到对某数重排求差结果：某数如为类型1的数，其中最大和最小两数字之差即为差数的首位数，剩下两数