《秒杀高考数学》之对称变量法.pdf

通锡苏学大教育个性化学习中心 Tongxisu XueDa Personalized Education Development Center 技巧八 对称变量法 一、适用题型 在不等式中的多元变量问题中，我们可以用“确定主元法”、“构造函数法”、“判别式法”等，但这些方 法在均有一定的计算量，在面对填空题时会显得力不从心。这个时候，我们可以尝试分析“对称性”，运用 “对称变量法”巧解此类问题。 我们知道，在高中阶段，解决不等式题目时，我们常常要遵循“一正、二定、三相等”的解题规律，而“对 称变量法”是直接从“相等”这个方面入手，从而消元，并将不等式转化为等式进行求解，大大降低了解题 难度。 虽然是从不等式引出的“对称变量法”，实际上，对于一些涉及到不等关系的几何图形，也可以应用对称变 量法进行求解。 二、基本理论 若条件和结论中的变量 x 与 y 均是对称的，那么多数情况下当变量 z 取最值时， x 与 y 的“贡献”是一样， 故可令 x ? y ，然后问题即转化为解方程组。 所谓的“对称”，最直观的认识就是：两变量范围相同，并且互相交换位置后不会改变题目。注意，必须题 设与结论中的式子都要满足对称才行。 对于多元变量，只要对于某些变量，其中任意两个交换都不改变题意，即可认为这些变量为对称变量。 三、解题步骤 1、从条件和结论两方便寻找对称变量（部分题目需要适当变形）； 2、令所有的“对称变量”相等，解方程组；若矛盾，退一步，令部分“对称变量”相等，解方程组； 3、将求出的值代入，得到最大值和最小值； 四、几点注意 1、在“完全对称”的假设下解方程组，若解，尝试“不完全对称”； 2、在分析“对称变量”时，不需要从条件入手，也需从题目设问入手；且部分题目需要适当变形（ 系数）； 3、“对称变量法”为解决此类问题的一个“方的”，并不是所有的题都可以这么，同时，也 会有（“”）。 、“对称变量法”求出的是论上的最值，但一法直接得出是最大最小，需要结实际进行分析。 五、典型例题 9 1 若正数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 3, x2 ? y 2 ? z 2 ? ， z 的最大值为 2 通锡苏学大个性化研究院 全国免费咨询热线：400-810-56781 通锡苏学大教育个性化学习中心 Tongxisu XueDa Personalized Education Development Center ?? 2x ? z ? 3 解：令 x ? y ， 2 2 9 ? z ? 0z ? 2 ?2x ? z ? ?? 2 所以 z 的最大值为 2 2 若实数 a,b,c 满足 2a? 2 b ? 2 a? b ， 2a? 2 b ? 2 c ? 2 a? b ? c ， 的最大值为 a a a?a ?a ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 解：令 a ? b ， 4 ? a a c a?a?c ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 c ? log2 ? ??