随机变量模型确定.doc

PAGE 1 PAGE 15 第十一章 随机变量模型的确定 11.1 随机变量模型的确定 三种情形： = 1 \* GB3 ①. 随机变量分布的类型已知, 需要由观测数据确定该分布的参数  = 2 \* GB3 ②. 由观测数据确定随机变量概率分布类型, 并在此基础上确定其参数  = 3 \* GB3 ③. 由已有的观测数据难以确定该随机变量的理论分布形式, 则定义一个实验分布 图11.1 均匀分布U(a, b) 的密度函数 f(x) 1/ (b-a) 0 a b x 1 分布参数的确定 分布参数的类型 (1) 位置参数(记为) 确定分布函数取值范围的横坐标。当改变时, 相应的分布函数仅仅向左或向右移动而不发生其它变化, 因而又称为位移参数。 例如, 均匀分布函数U(a,,b), 其密度函数为: 图11.2 指数分布EXPO() 的密度函数 0 0.5 1.0 x f(x) 2.0 1.0 0.5 =0.5 =1.0 =2.0 其中参数定义为位置参数, 当改变时(保持不变), 向左或向右移动。 (2) 比例参数(记为)： 决定分布函数在其取值范围内取值的比例尺。 的改变只压缩或扩张分布函数, 而不会改变其基本形状。 例如, 指数分布函数EXPO(), 其密度函数为: (3) 形状参数(记为α)：确定分布函数的形状, 从而改变分布函数的性质, 例如, 韦伯分布Weibull(), 其密度函数为: 图11.3 韦伯分布Wilbull() 的密度函数 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 x f(x) 1.5 1.0 0.5 =3 =2 =1 当改变时, 其形状发生很大的变化。 随机变量, 如果存在一个实数, 使与具有相同的分布, 则称与仅仅是位置上不同变量; 如果对于某个正实数, 使得与具有相同的分布, 则称与仅仅是比例尺不同的随机变量; 如果与具有相同的分布, 则称与仅在位置与比例上不同。 2. 分布参数的估计 最大似然估计: 设参数, 观测数据为 在离散分布情形, 可令为该分布的概率质量函数, 定义似然函数为: 则是联合质量函数, 的最大似然估计值是使取最大值的, 即对于所有可能的值, 。 在连续分布情形, 令为该分布的概率密度函数, 其似然函数定义为: 例：指数分布, 被估计的参数, 其分布密度函数为 由 为求使取最大值的, 先对取自然对数: 由于是严格递增的, 取最大值等价于取最大值, 为此, 对求极值: 可得 又由 当时, 由于为正, 可见, 因而为最大值, 从而得到参数的最大似然估计值为 11.2 分布类型的假设 由观测数据来确定随机变量的分布类型对观测数据进行适当的预处理, 然后根据预处理的结果对分布类型进行假设。 1. 连续分布类型的假设 预处理方法有三种, 即点统计法、直方图法及概率图法。 (1) 点统计法： 基于连续分布的变异系数特征来进行分布类型的假设。变异系数的定义是: 其中Var与E分别为分布的方差与均值。 点统计法对观测数据进行如下预处理: 则的似然估计为: 然后根据值并参照各类分布的变异数据来假设观测数据的分布类型粗 (2) 直方图法 将观测数据的取值范围分成个断开的相邻区间, , 每个区间宽度相等, 记为 。 对任意,设为第个区间上观测点的个数, 记 定义函数 0 1.0 2.0 0.20 0.15 0.10 0.05 做出的直方图, 再将该图与基本理论分布的密度函数图形进行比较(先忽略位置及比例尺的差别), 观察何种分布与的图形类似, 则可假设观测数据服从该类型分布，然后再采用前面介绍的方法确定其参数。 在实际使用时, 可能需要增加一些其值特别大或特别小的观测数据，以便与理论分布进行比较。 使用直方图法的困难在于如何确定区间长度。太大, 将丢失信息, 太小, 则观测数据中的噪声滤除得不够(一般观测数据中总是存在一定的噪声)。 (3) 概率图法 直方图法：将观测数据的直方图与理论分布的密度函数进行比较