例举多元函数最值的求法与技巧.doc

例举多元函数最值的求法与技巧 一、配方法： 配方法是解最值问题的一种基本方法,它的思路是,将问题配成若干个完全平方式的形式. 例1：已知ｘ－ｙ＝ａ，ｚ－ｙ＝10,求代数式x2 + y2 + z2-(xy+yz+zx)的最小值。 　解：由已知等式得　x-z=a-10 ∴x2 + y2 + z2-(xy + yz + zx)= EQ \f(1,2)[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2] = [a2+(a-10)2+102] = (a-5)2+75 所以当a=5时，所求代数式的最小值为75. 例2: 求实数x,y的值使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2的值最小。 解：原式 =5x2+6xy+3y2-30x-20y+46 =5(x+ EQ \f(3y,5)-3)2+ EQ \f(6,5)(y-  EQ \f(5,6))2+ 当x+ EQ \f(3y,5)-3＝0且y-  EQ \f(5,6) =0时，上式取得最小值 此时x= EQ \f(5,2), y= EQ \f(5,6) 原式最小值为  EQ \f(1,6) 例3:已知x1 ,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个根(k为实数)， 求：(x1-1)2+(x2-1)2的最大值。 解：设f(k)= (x1-1)2+(x2-1)2 由韦达定理知：x1 + x2 =k-2 ,x1x2=k2+3k+5 则f(k)= (x1+x2)2-2x1x2-2(x1+x2)+2 =(k-2)2-2(k2+3k+5)-2(k-2)+2 =－k2－12k =-(k+6)2+36 又由⊿＝[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0,得-4≤k≤-  EQ \f(4,3) ∵f(k)在-4≤k≤-  EQ \f(4,3)　上是减函数。 ∴当k=-4时，f(k)取最大值。即f(k)= (x1-1)2+(x2-1)2＝32. 例4:实数x,y满足2x2-6x+y2=0,求x2+y2+2x的最大值。 　解：由题设得：y2=6x-2x2 ∴x2+y2+2x=x2+6x-2x2+2x =-x2+8x =-(x-4)2+16 　　 而2x2-6x＝－y2≤0即0≤x≤3,在0≤x≤3上f(x)为增函数 　　　所以x=3时取最大值，且最大值为15. 例5:实数x,y,z满足条件xy+yz+zx=-1,记s=x2+5y2+8z2,求s的最小值,并求取得最小值时x,y,z的值. 解:s= x2+5y2+8z2=(x+2y+2z)2+(y-2z)2-4xy-4yz-4xz 由于 xy+yz+zx=-1,所以 s= (x+2y+2z)2+(y-2z)2+4 ∴若方程组 EQ \B\lc\{(\a( y-2z=0 ①,x+2y+2z=0 ②,xy+yz+zx=-1 ③ ))  有实数解时,s的最小值为4. 下面解这个方程组: 由①得y=2z代入②得x=-6z 把 y=2z, x=-6z代入 ③ 得z2 = EQ \f( 1,16), ∴z=± EQ \f(1,4). 而当z=时, x=-  EQ \f(3,2 ), y= EQ \f(1,2 ) ;当z=-  EQ \f(1,4)时,x=  EQ \f(3,2) ,y= -  EQ \f(1,2) . 综上所述,当x=  EQ \f(3,2) ,y= -  EQ \f(1,2), z=-  EQ \f(1,4)或x=-  EQ \f(3,2 ), y= EQ \f(1,2 ), z=时s有最小值, 最小值为4. 注：用配方法解多元函数最值问题时，应注意以下两点： 求函数最值时，应考虑自变量的取值范围。 一个复杂的函数式若能写成二次函数型的复合函数， Ｆ(x)=ag2(x)+bg(x)+c. (a,b,c为常数)，也可用配方法求最值。 　二、消元法 求解多元函数最值问题的主要思想是“转化”，“化多元为一元”具体手段除了配方法外，还有一种重要的方法　　　消元法。当转化为一元函数问题后，要注意该变量的取值范围的变化。 例6:已知x,y,z为实数，且x+2y-z=6, x-y+2z=3,求x2+y2+z2的最