南京航空航天大学《高等数学》6.4平面曲线的弧长.pdf

第四节 平面曲线的弧长  平面曲线弧长的概念与计算  直角坐标情况  参数方程情况  极坐标情况 一、平面曲线弧长的概念 设 A、B是曲线弧上的两 y M M n?1 个端点，在弧上插入分点 2 M1 B = M n A = M M10 M i ,,, A = M ,, = BMM 0 ?1 nn o x 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， n 此折线的长 的极限存在，则称此极限为 ∑ ?1 MM ii || i=1 曲线弧 AB的弧长. 二、直角坐标系情形 y 设曲线 y = f x)( a ≤ x ≤ b)( ， 其中 xf )( 在 ba ],[ 上有一阶连续导数 } dy 用积分元素法 取积分变量为 ， : x x o a x + dxx b 在 ba ],[ 上取小区间 + dxxx ],[ ， 以小切线段的长代替小弧段Δs 的长 2 小切线段的长 2 + dydx )()( 2 1 += ′ dxy 弧长元素 1 += ′2dxyds b 2 曲线段的弧长 += ′ dxys .1 ∫a 2 3 例1 计算曲线 = xy 2上相应于 x从 a到 b的 3 一段弧的长度. 1 解 ∵ ′ = xy 2 , 1 ∴ += 2 )(1 2dxxds = + dxx ,1 a b 所求弧长为 b 2 3 3 1 += dxxs 2 +?+= ab 2 ].)1()1[( ∫a 3 x n sin dny θθ= 例2 计算曲线 ∫0 的弧长 nx π≤≤ )0( . x 1 x 解 ′ ny sin ?= = ,sin nn n b 2 nπ x ∫ 1 += ′ dxys += sin1 dx a ∫0 n x = nt π sin1 ?+ ndtt ∫0 2 2 π ? ? ? ? tttt = n ?sin ? + ?cos ? + sin2 cos dt ∫0 ? 2? ? 2? 2 2 π ? tt ? = n ?sin + cos ?dt = n.4 ∫0 ? 2 2? 三、参数方程情形 ? = ? tx )( 曲线弧为 ? , α ≤ t ≤ β )( ? =ψ ty )( 其中 ψ?tt )(),( 在 βα],