02—第二章作业及答案.doc

2. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为. 试确定常数c, 并计算条件概率. 解 由离散型随机变量的分布律的性质知， 所以. 所求概率为 P{X1| X }=. 3. 设随机变量X服从参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p的二项分布, 若≥, 求≥. 解 注意p{x=k}=,由题设≥ 故. 从而 ≥ 5. 若X服从参数为的泊松分布, 且, 求参数. 解 由泊松分布的分布律可知. 2. 设随机变量X的分布函数为 F(x) = A+Barctanx -∞x+∞. 试求: (1) 常数A与B; (2) ?X落在(-1, 1]内的概率. 解 (1) 由于F(-∞) = 0, F(+∞) = 1, 可知 于是 (2) ?? ?? 3. 设随机变量X的分布函数为 F(x)= 求P{X≤-1}, P{0.3 X0.7}, P{0X≤2}. 解 P{X, P{0.3X0.7}=F(0.7)-F{0.3}-P{X=0.7}=0.2, P{0X≤2}=F(2)-F(0)=1. 5. 假设随机变量X的绝对值不大于1; ; 在事件出现的条件下, X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求的分布函数≤x}; (2) 求X取负值的概率p. 解 (1) 由条件可知, 当时, ; 当时, ; 当时, F(1)=P{X≤1}=P(S)=1. 所以 易见, 在X的值属于的条件下, 事件的条件概率为 ≤, 取x=1得到 1=k(1+1), 所以k=. 因此 ≤. 于是, 对于, 有 ≤≤ ?????????????????????????? 对于≥1, 有 从而 (2) X取负值的概率 习题2-4 1. 选择题 (1) 设 如果c=( ), 则是某一随机变量的概率密度函数. (A) . (B) . (C) 1. (D) . 解 由概率密度函数的性质可得, 于是, 故本题应选(C ). (2) 设又常数c满足, 则c等于( ). (A) 1. (B) 0. (C) . (D) -1. 解 因为, 所以,即 , 从而,即, 得c=0. 因此本题应选(B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ). (A) (B) (C) (D) 解 由概率密度函数的性质可知本题应选(D). (4) 设随机变量, , ≤}, ≥}, 则( ). (A) 对任意的实数. (B) 对任意的实数. (C) 只对实数的个别值, 有. (D) 对任意的实数. 解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有 . 因此本题应选(A). (5) 设随机变量X的概率密度为, 且, 又F(x)为分布函数, 则对任意实数, 有( ). (A) . (B) . (C) . ? (D) . 解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且 则下式中成立的是( ). (A) σ1 σ2. (B) σ1 σ2. (C) μ1 μ2. (D) μ1 μ2. 解 对μ1＝μ2时, 答案是(A). (7) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数, 数满足, 若, 则等于( ). (A) . (B) . (C) . (D) . 解 答案是(C). 2. 设连续型随机变量X服从参数为的指数分布, 要使成立, 应当怎样选择数k? 解 因为随机变量X服从参数为的指数分布, 其分布函数为 由题意可知 . 于是 . 3. 设连续型随机变量X的分布函数为 求: (1) X的概率密度; (2). 解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系, 可得 (2) . 4. 设连续型随机变量X具有概率密度函数 求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x). 解 (1) 由概率密度的性质可得 , 于是 ； (2) 由公式可得 当x≤0时, ; 当≤1时, ; 当≤2时, ; 当x2时,