柯西不等式求最值.doc

柯西不等式求最值 1. 设a、b、c为正数，求的最小值 【答案】121 2.设x，y，z ? R，且满足x2 + y2 + z2 = 5，则x + 2y + 3z之最大值为　　　　　 解(x + 2y + 3z)2 ￡ (x2 + y2 + z2)(12 + 22 + 32) = 5．14 = 70∴　x + 2y + 3z最大值为 3.设x，y，z ? R，若x2 + y2 + z2 = 4，则x - 2y + 2z之最小值为　　　　　时，(x，y，z) = 　　　　　 解(x - 2y + 2z)2 ￡ (x2 + y2 + z2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4．9 = 36∴　x - 2y + 2z最小值为 - 6，公式法求 (x，y，z) 此时 ∴　，， 4.设，，试求的最大值M与最小值m。 答：根据柯西不等式 即 而有 故的最大值为15，最小值为–15。 5.设，试求之最小值 即 将代入其中，得 而有 故之最小值为4。 变形：.设x，y，z ? R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为 [2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)]2 ￡ [(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2]．(22 + 22 + 12)T　(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 3= 9 6.设x, y, zR，若，则之最小值为________，又此时________ 　∴最小值 　　　 　　　∴　　　∴ 7.设a, b, c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。 解： 　　　∴，最小值为18 等号发生于 故 　　　∴　又 ∴ 8.设x, y, zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，？ 答案：　 　　　 若又∴ ∴　∴ 9.设x，y，z ? R且，求x + y + z之最大值，最小值。 Ans 最大值7；最小值 - 3 【解】∵　由柯西不等式知[42 + ()2 + 22] 3 　T　25 ′ 1 3 (x + y + z - 2)2　T　5 3 |x + y + z - 2|T　- 5 ￡ x + y + z - 2 ￡ 5　∴　- 3 ￡ x + y + z ￡ 7故x + y + z之最大值为7，最小值为 - 3 11.（2008南开）设为正数，且求的最小值. 【答案】由柯西不等式 12.如果，求的最大值. 【答案】解： ∴ 当且仅当时，取得最大值. 注：也可用二元均值不等式 13.（1）已知实数满足：，，试求的最大值与最小值 【答案】 14.已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围. 解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得 ≤ 故λ的取值范围是［,+∞). 温馨提示 本题主要应用了最值法,即不等式≤λ恒成立,等价于()max≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=的最大值. 15.设、、为正数且各不相等。求证： 【答案】 因为、、为正数且各不相等，所以等号不成立，所以有 17. ，求证： 【答案】因为， 18 、为非负数，+=1，求证： 【答案】 19. （1）已知、是正常数，，求证：，并指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结论求函数的最小值，并指出取得最小值时的值． （1）[证明]∵ ， ∴，当且仅当，即时上式取等号. （2）[解]由（1）. 当且仅当，即时，上式取等号.即. . 20.（1）（2002交大）若满足，求的值. 证明：由柯西不等式，得 当且仅当时，上式取等号， 于是 . 另证1：因为 当且仅当且，即且 于是 （2）解方程组 解：原方程组可化为 运用柯西不等式得, 两式相乘，得 当且仅当时取等号. 故原方程组的解为. 21. 记，求证： 【答案】分析：要证明，先得化简： 于是，只需证明 因此，只需分别证明以下两个不等式即可： （1)； （2). 对于第一个不等式 ， 与元Cauchy不等式 作比较，只能把看成是Cauchy不等式右端的项，于是令，，就可以运用Cauchy不等式了. 对于第二个不等式 ， 与元Cauchy不等式 作比较，只能把看成是Cauchy不等式左端的项，于是令，，再次运用Cauchy不等式就可以了. 证明： （1）在元Cauchy不等式 中，令，，则?? 化简可得 即 又因为，代入上式，可得 ； （2）在元Cauchy不等式 中，令，，则有 化简可得 又由于